Aufgabe 1B

Beim maschinellen Lernen simuliert man das Verhalten von menschlichen Nervenzellen. Dabei entscheidet eine künstliche Zelle mithilfe einer sogenannten Aktivierungsfunktion, ob sie ein Signal ausgibt. Die Funktion $f$ mit $f(x)=-0,25x^{3}+0,75x^{2}$ , $0\leq x\leq 2$ , ist eine mögliche Aktivierungsfunktion. $x$ wird als Eingangswert und $f(x)$ als Aktivitätsmaß bezeichnet.

Berechne für den Eingangswert $x=0,5$ das Aktivitätsmaß.
Markiere in Abbildung 1 den Bereich auf der $x$ -Achse, für den das Aktivitätsmaß mindestens $0,25$ und höchstens $0,75$ beträgt.

Graph einer Funktion mit einer grünen Linie auf einem kartesischen Koordinatensystem.

Abb. 1

Berechne die Eingangswerte, für die

das Aktivitätsmaß $0,4$ überschritten wird,
die lokale Änderungsrate des Aktivitätsmaßes mit der durchschnittlichen Änderungsrate auf dem Intervall $[0$ ; $2]$ übereinstimmt.

(12 BE)

Eine Aktivierungsfunktion soll die folgenden Kriterien erfüllen:

Die Steigung des Funktionsgraphen in der Intervallmitte ist maximal.
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$ -Achse im Intervall $[0$ ; $1]$ ist kleiner als $\displaystyle \frac{1}{5}$ des Inhalts der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$ -Achse im gesamten Intervall.

Entscheide, ob $f$ im Intervall $[0$ ; $2]$ diese Kriterien erfüllt, und begründe deine Entscheidung.

(8 BE)

Unabhängig vom Sachkontext werden nun die auf ganz $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit

$f_{a}(x)=x^{3}-a\cdot x^{2}+x, a\gt0,$ betrachtet.

Es gilt $\(f_{a}$

Die Gleichung $f_{a}(x)=0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $x_{1}=0,$
$\displaystyle x_{2}=\frac{a}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$ und $x_3= \dfrac{a}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$ .

Bestimme den Wert von $a$ , für den der Graph von $f_{a}$ genau zwei Nullstellen hat.
Berechne den Wert von $a$ , für den $x=2$ eine Nullstelle ist.
Bestimme den Wert von $a$ , für den eine der drei Nullstellen genau in der Mitte zwischen den beiden anderen liegt.
Jeder Graph von $f_{a}, a\gt0$ , hat einen Wendepunkt $\left(\dfrac{a}{3} \,\bigg \vert \, f_a \left(\frac{a}{3}\right)\right)$ .
Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, sodass die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Wendepunkt die $x$ -Achse unter einem Winkel von $45^{\circ}$ schneidet.

(14 BE)

Aktivitätsmaß für $x=0,5$ bestimmen:

$f(\mathrm{0,5})=-0,25\cdot 0,5^{3}+0,75\cdot 0,5^{2}\approx 0,16$

Das Aktivitätsmaß für $x=0,5$ beträgt $0,16$ .

Bereich: $0,25\leq f(x) \leq 0,75$

Definiere $h(x)=0,75$ und $g(x)=0,25$ .

Diagramm mit einer Kurve und horizontalen Linien, die Werte für h, g und f darstellen. Achsen beschriftet mit x und y.

Die Markierung des Intervalls befindet sich von etwa $0,7$ bis etwa $1,3$ auf der x-Achse.

$f(x)\gt 0,4$ lösen:

Definiere eine Gerade $y_1$ mit $y_1=0,4$ .

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y_1 = 0,4.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $0,4$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y_1=0,4$ befindet sich bei $x_1\approx 0,87$ .
$f(x)\gt 0,4$ liefert im Intervall $[0;2]$ die Lösungen $x\gt x_1$ .

Für $x\gt 0,87$ wird das Aktivitätsmaß $0,4$ überschritten.

Eingangswerte berechnen:

Die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall $[0 ; 2]$ entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte $P_1(0 \mid 0)$ und $P_2(2 \mid 1)$ .

$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0} &\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1-0}{2}&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}& \quad \end{array}$

Die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall $[0 ; 2]$ beträgt $m=0,5$ .

Die lokale Änderungsrate (Ableitung) entspricht der Steigung der Tangente in einem entsprechenden Punkt.
Gesucht sind die $x$ -Werte, für die $\(f$ gilt.

$\(f$

Definiere eine Gerade $y_2$ mit $y_2=0,5$ .

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $\(f$ mit der Geraden zu $y_2 = 0,5.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $0,5$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Die Schnittpunkte des Graphen von $\(f$ mit der Geraden zu $y_2=0,5$ befinden sich bei $x\approx 0,42$ und $x\approx 1,58$ .

Für die Eingangswerte $x\approx 0,42$ und $x\approx 1,58$ stimmt die lokale Änderungsrate des Aktivitätsmaßes mit der durchschnittlichen Änderungsrate auf dem Intervall $[0 ; 2]$ überein.

Kriterien für eine Aktivierungsfunktion überprüfen:

Steigung des Funktionsgraphen in der Intervallmitte ist maximal.

Dieses Kriterium ist erfüllt, falls der Funktionsgraph von $\(f$ an der Stelle $x=1$ einen Hochpunkt hat.
Der Hochpunkt wird mit Hilfe des GTRs bestimmt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Der Hochpunkt befindet sich bei $\(H_{f$ .
Daraus folgt, dass die Steigung des Funktionengraphen in der Intervallmitte maximal ist und dieses Kriterium erfüllt die Funktion $f$ .

Der Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall $[0 ; 1]$ ist kleiner als $\displaystyle \frac{1}{5}$ des Inhalts der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im gesamten Intervall.

Berechne mit Hilfe des GTRs die folgenden Integrale:
$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx$ und $\dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx&\approx&0,19 &\quad \\[5pt] \dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx&=&\dfrac{1}{5} \cdot 1&\quad \\[5pt] &=&0,2 \gt 0,19 \end{array}$

Der Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall $[0 ; 1]$ ist kleiner als $\displaystyle \frac{1}{5}$ des Inhalts der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im gesamten Intervall.
Daraus folgt, dass die Funktion $f$ dieses Kriterium erfüllt.

Die Funktion $f$ erfüllt im Intervall $[0 ; 2]$ die Kriterien einer Aktivierungsfunktion.

Wert von $a$ bestimmen, für den der Graph von $f_{a}$ genau zwei Nullstellen hat:

erste Nullstelle: $x_{1}=0$
Für den Graph von $f_a$ existieren genau zwei Nullstellen, wenn $\sqrt{a^2-4}=0$ gilt, das heißt $x_2=x_3$ .

$a=2$

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Für den Wert $a=2$ hat der Graph von $f_a$ genau zwei Nullstellen ( $x_{1}=0$ und $x_{2}=1$ ).

Wert von $a$ bestimmen, für den $x=2$ eine Nullstelle ist:

Hierfür ist $\dfrac{a}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}=2$ zu lösen.

$a=2,5$

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Alternativ kann obige Gleichung auch mit dem GTR gelöst werden (Schnittpunkt zweier Geraden).

Für den Wert $a=2,5$ besitzt der Graph von $f_a$ bei $x=2$ eine Nullstelle.

Wert von $a$ bestimmen, für den eine der drei Nullstellen genau in der Mitte zwischen den beiden anderen liegt:

Zu beobachten ist, dass
$x_{1}=0$ die untere Nullstelle,
$\displaystyle x_{2}=\frac{a}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$ die mittlere Nullstelle und
$x_3= \dfrac{a}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}$ die obere Nullstelle ist.

Daraus folgt, dass $x_3= 2 \cdot x_2 = 2 \cdot \left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-4}\right)$ ist, sodass die Nullstelle $x_2$ genau in der Mitte zwischen den anderen beiden Nullstellen liegt.

Hierfür ist $x_3=2 \cdot x_2$ zu lösen.

$a=\sqrt{4,5}$

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Alternativ kann obige Gleichung auch mit dem GTR gelöst werden (Schnittpunkt zweier Geraden).

Für den Wert $a=\sqrt{4,5}$ liegt eine der drei Nullstellen genau in der Mitte zwischen den anderen beiden Nullstellen.
Der Graph der Funktion $f_a$ besitzt dann seine Nullstellen bei $x_1=0$ , $x_2= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ und $x_3=\sqrt{2}$ .

Wert von $a$ bestimmen, sodass die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Wendepunkt die x-Achse unter einem Winkel von $45^{\circ}$ schneidet:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Gesucht wird ein Wert für $a$ , sodass die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Wendepunkt $m=1$ beträgt.

$a=0 \, \text{ liegt nicht im Definitionsbereich, da } a\gt0)$

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Gesucht wird ein Wert für $a$ , sodass die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Wendepunkt $m=-1$ beträgt.

$a=\sqrt{6}$

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Für $a=\sqrt{6}$ schneidet die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Wendepunkt die x-Achse unter einem Winkel von $45^{\circ}$ .