Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben sind die in $ℝ$ definierten Funktionen $f$ , $g$ und $h$ durch

$f(x)=x^2-x+1$ ,

$g(x)=x^3-x+1$ und

$h(x)=x^4+x^2+1$ .

a) Die Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.

Gib an, um welche Funktion es sich handelt.

Begründe, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

(3P)

Koordinatensystem mit Achsen und Gitternetzlinien.

b) Die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist $h‘$ .Bestimme den Wert von $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{1}h‘(x)\mathrm\,{dx}$ .

(2P)

Aufgabe P2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot x}\,\, (x\in\mathbb{R})$ .

In der nebenstehenden Abbildung sind die Graphen von $f$ sowie von $f‘$ dargestellt.

Es ist $f‘(0)=1$ .

Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen für x und y, dargestellt in einem einfachen Raster.

a) Begründe anhand der Abbildung, dass der Graph (ii) zur Funktion $f$ gehört.

(1P)

b) Begründe mithilfe von Graph(i), dass der Graph von $f$ im Intervall $[0;1]$ einenHochpunkt hat.

(2P)

c) Begründe mithilfe der dargestellten Graphen, dass $y=x$ die Gleichung derTangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ ist.

(2P)

Aufgabe P3

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge $5$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ beschrieben. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Treffer.

a) Nenne in diesem Sachzusammenhang das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit $P\,(X \leq 3)$ bestimmt werden kann.

(1P)

b) Entscheide, welcher der beiden Terme die Wahrscheinlichkeit für genau vier Treffer beschreibt.

i) $\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot p \cdot (1-p)^4$

ii) $\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot p^4 \cdot (1-p)$

(2P)

c) Erläutere anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

(2P)

Aufgabe P4

Gegeben sind die Punkte $A\,(0\mid 1\mid 2)$ , $B\,(2\mid 5\mid 6)$ und $C\,(2\mid 3\mid 6)$ .

a) Zeige, dass die Punkte $A$ und $B$ den Abstand $6$ haben.

(1P)

b) Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AC}$ .

(2P)

c) Die Punkte $A$ , $B$ und $C$ sollen mit einem weiteren Punkt $D$ die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.

Gib die Koordinaten eines möglichen vierten Eckpunktes an.

(2P)

Aufgabe P1

a) $\blacktriangleright$ Graph bestimmen

Du hast eine Abbildung eines Graphen und drei Funktionsgleichungen gegeben. Du sollst bestimmen, um welche Funktion es sich handelt.

Der abgebildete Graph ist punktsymmetrisch. Die Funktion $g$ hat nur ungerade Exponenten und ist somit ebenfalls punktsymmetrisch. Bei dem abgebildeten Graphen handelt es sich daher um die Funktion $g$ .

Die Funktion $f$ ist eine Parabel und hat nur einen Extrempunkt. Die Funktion $h$ hat nur gerade Exponenten und ist somit achsensymmetrisch.

b) $\blacktriangleright$ Integral bestimmen

Du sollst folgendes Integral bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{1}\;h‘(x)\mathrm dx \end{array}$

Die Funktion $h‘$ ist die erste Ableitungsfunktion der Funktion $h$ . Somit ist die Funktion $h$ die Stammfunktion von $h‘$ .

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{1}\;h‘(x)\mathrm dx\\[5pt] &=&[h(x)]_0^1\mathrm dx\\[5pt] &=&[x^4+x^2+1]_0^1\\[5pt] &=&1^4+1^2+1-(0^4+0^2+1)\\[5pt] &=&1+1+1-0-0-1\\[5pt] &=&2 \end{array}$

Aufgabe P2

a) $\blacktriangleright$ Graph begründen

Der Graph (ii) geht durch den Ursprung. Um zu überprüfen, ob der Graph (ii) zur Funktion $f$ gehört, machst du eine Punktprobe. Setze dazu die Koordinaten des Ursprungs $O(0\mid0)$ in die Funktionsgleichung von $f$ ein.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x\cdot\mathrm e^{-2x} \\[5pt] f(0)&=&0\cdot\mathrm e^{-2\cdot0} \\[5pt] f(0)&=&0 \end{array}$

Der Graph (ii) gehört zu der Funktion $f$ .

b) $\blacktriangleright$ Hochpunkt begründen

Du sollst nun begründen, dass des Graph (i) im Intervall $[0;1]$ einen Hochpunkt hat. Beachte dabei die Nullstellen in diesem Intervall und wie die Funktion das Vorzeichen wechselt.

Die Funktion $f‘$ hat in dem vorgegebenen Intervall eine Nullstelle. Die Funktion wechselt dabei das Vorzeichen von $+$ nach $-$ . Der Graph von $f$ hat demnach in dem Intervall $[0;1]$ einen Hochpunkt.

c) $\blacktriangleright$ Gleichung der Tangente begründen

Eine Tangente ist eine Gerade mit der allgemeinen Gleichung $y=mx+b$ . Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$ -Achsenabschnitt.

Die Tangente soll an der Stelle $x=0$ angelegt werden. Du weißt, dass der Graph von $f$ durch den Ursprung geht. Der $y$ -Achsenabschnitt ist demnach gleich Null.

Aus der Aufgabe weißt du, dass gilt: $f‘(0)=1$

Die Steigung $m$ an der Stelle $x=0$ ist also gleich $1$ .

Die Gleichung der Tangente an der Stelle $x=0$ ist $y=x$ .

Aufgabe P3

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und $n$ Versuchen gilt:

$P (X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Dabei gilt:

$p$ : Trefferwahrscheinlichkeit

$n$ : Anzahl der Versuche

$k$ : Anzahl der Treffer

$P$ : Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer

a) $\blacktriangleright$ Ereignis bestimmen

Mit der Wahrscheinlichkeit $P(X\leq3)$ wird die Wahrscheinlichkeit für $k\leq3$ berechnet.

Das Ereignis lautet demnach:
Der Biathlet trifft höchstens drei Scheiben.

b) $\blacktriangleright$ Term bestimmen

Du sollst den Term bestimmen, der die Wahrscheinlichkeit für genau vier Treffer beschreibt. Es gilt: $k=4$

Setzt du dies in die Bernoulli-Gleichung ein, erhältst du den korrekten Term. Die Anzahl der Versuche beträgt $n=5$ .

$\begin{array}[t]{rll} P(X=k)&=&\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \\[5pt] &=&\binom{5}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^{5-4}\\[5pt] &=&\binom{5}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p) \end{array}$

Der Term (ii) beschreibt die Wahrscheinlichkeit für genau $4$ Treffer.

c) $\blacktriangleright$ Grenzen der modellhaften Beschreibung erläutern

Bei dieser Teilaufgabe sollst du ein Beispiel nennen, warum die Bernoullikette eventuell nicht der Realität entspricht.

Bei der Bernoullikette wird von einer gleichbleibenden Trefferwahrscheinlichkeit ausgegangen. Dabei wird jedoch nicht die Nervosität des Schützen oder mögliche Veränderungen des Wetters beachtet.

Ein Beispiel wäre, wenn der Biathlet nach den ersten Fehlschüssen zu nervös ist, um sich auf den nächsten Schuss genauso gut konzentrieren. Eine andere Möglichkeit wäre, wenn plötzlich ein Windstoß kommt der die Kugel abfälscht.

Aufgabe P4

a) $\blacktriangleright$ Abstand $\boldsymbol{d}$ berechnen

Du hast die Punkte $A(0\mid1\mid2)$ , $B(2\mid5\mid6)$ und $C(2\mid3\mid6)$ gegeben und sollst zeigen, dass der Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$ gleich $6$ LE ist.

Den Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $P(p_1\mid p_2\mid p_3)$ und $Q(q_1\mid q_2\mid q_3)$ wird mit folgender Formel berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} d&=&\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2} \end{array}$

Setze nun die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in diese Formel ein.

$\begin{array}[t]{rll} d&=&\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(0-2)^2+(1-5)^2+(2-6)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+(-4)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{4+16+16}\\[5pt] &=&\sqrt{36}\\[5pt] &=&6 \end{array}$

Die Punkte $A$ und $B$ haben den Abstand $6$ LE.

b) $\blacktriangleright$ Mittelpunkt $\boldsymbol{M}$ berechnen

Den Mittelpunkt $M$ einer Strecke $\overline{AB}$ berechnest du wie folgt:

$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

Du sollst den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AC}$ berechnen. Setze dazu die Koordinaten der Punkte $A(0\mid1\mid2)$ und $C(2\mid3\mid6)$ in die Formel ein.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=& \frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right) \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\8\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix} \end{array}$

Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AC}$ hat die Koordinaten $M(1\mid2\mid4)$ .

c) $\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen

Die Punkte $A$ , $B$ und $C$ sollen mit dem Punkt $D$ ein Parallelogramm bilden. Um die möglichen Koordinaten des Punktes $D$ zu berechnen hast du mehrere Möglichkeiten. Die Koordinaten erhältst du, indem du zu einem Ortsvektor eines Punktes den Richtungsvektor der beiden anderen Punkte addierst.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}\right)\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix} \end{array}$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AB} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right)\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}4\\7\\10\end{pmatrix} \end{array}$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg C

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\right)\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix} \end{array}$

Der Punkt $D$ kann die Koordinaten $D_1(0\mid-1\mid2)$ , $D_2(4\mid7\mid10)$ oder $D_3(0\mid3\mid2)$ haben.