Aufgabe 3B

Gegeben sind die Gerade $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1\\ 1\\ -4\end{array}\right) +r\cdot \left(\begin{array}{l}-2\\1\\0\end{array}\right),$ $\ r\in\mathbb{R},$

und die Ebene

$\mathrm{E}:\vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1\\ 0\\ -2 \end{array}\right) +s\cdot\left(\begin{array}{l} 1\\ 0\\ -3 \end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{l} 0\\ -1\\ 2 \end{array}\right),$ $\ s\in \mathbb{R}, \, t\in \mathbb{R}.$

Zeige, dass

der Vektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{l} 3\\ 2\\ 1 \end{array}\right)$ ein Normalenvektor der Ebene $\mathrm{E}$ ist.
$\mathrm{S} (1\mid 1 \mid -4)$ der einzige gemeinsame Punkt von $g$ und $\mathrm{E}$ ist.

Die Ebene $H$ hat die Gleichung $3x+2y+z=3.$ $E$ und $H$ schneiden aus der Geraden $g$ eine Strecke heraus.
Bestimme die Länge dieser Strecke.

(10 BE)

Für $a\in \mathbb{R}$ ist die Ebene $F$ durch die Gleichung $3x+2y+(2+a)\cdot z=3a+4$ gegeben.
Berechne den Wert für $a$ , sodass der Punkt $P (0\mid 0\mid 2,5)$ der Schnittpunkt von $F$ mit der $z$ -Achse ist.
Untersuche, ob es zu jedem Punkt $Z$ der $z$ -Achse einen Wert für $a$ gibt, sodass $Z$ der Schnittpunkt von $F$ mit der $z$ -Achse ist.

(7 BE)

Normalenvektor der Ebene $E$ berechnen:

Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren $\pmatrix{1\\0\\-3}$ und $\pmatrix{0\\-1\\2}$ der Ebene $E$ bildet einen Normalenvektor der Ebene.

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\2\\1}$

Vollständige Lösung anzeigen

Daraus folgt, dass $\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\2\\1}$ ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist.

Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ und Ebene $E$ berechnen:

$r \cdot \pmatrix{-2\\1\\0}- s \cdot \pmatrix{1\\0\\-3}-t \cdot \pmatrix{0\\-1\\2}=\pmatrix{0\\-1\\2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2r-1s+0t&=& 0 &\quad \\ \text{II}\quad&1r+0s+1t&=&-1 &\quad \\ \text{III}\quad&0r+3s-2t&=& 2 &\quad \\ \end{array}$

Löse das lineare Gleichungssystem mit Hilfe des GTRs.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2ND $\rightarrow$ $x^{-1}$ $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ $3x4$

In das Fenster gibst du die Zahlen aus dem linearen Gleichungssystem ein. Gib dabei zuerst die Koeffizienten vor den Unbekannten und in der Zeile jeweils zu letzt die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen ein:

$\pmatrix{-2& -1& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 & 2}$

Anschließend kannst du es wie folgt lösen:

2ND $\rightarrow$ $x^{-1}$ $\rightarrow$ MATH $\rightarrow$ $B$ $\rightarrow$ 2ND $\rightarrow$ MATRIX $\rightarrow$ NAMES $\rightarrow$ $1 :[A]$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Im Gleichungs-Menü:

F1: Lin. Gleichungss. $\to$ F2: 3 (Unbekannte)

Das LGS liefert eine eindeutige Lösung:

$r=0$
$s=0$
$t=-1$

$r=0$ in die Geradengleichung $g$ bzw. $s=0$ und $t=-1$ in die Ebenengleichung $E$ einsetzen, liefert den Ortsvektor $\overrightarrow{OS}$ des Schnittpunkts.

Für $r=0$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=&\pmatrix{1\\1\\-4}+ 0 \cdot \pmatrix{-2\\1\\0} &\quad \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\1\\-4} \end{array}$

Damit ist gezeigt, dass $S(1|1|-4)$ der einzige gemeinsame Punkt von $g$ und $E$ ist.

Schnittpunkt $P$ der Ebene $H$ mit der Geraden $g$ und anschließend $|\overrightarrow{SP}|$ berechnen:

$H: 3x+2y+z=3$

Setze dafür die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und bestimme den Parameter $r$ .

$r=-\dfrac{1}{2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $r=-\dfrac{1}{2}$ in der Geradengleichung $g$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=&\pmatrix{1\\1\\-4} -\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{-2\\1\\0} &\quad \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\\dfrac{1}{2}\\-4} \end{array}$

Die beiden Schnittpunkte mit der Geraden $g$ lauten:

$S(1|1|-4)$ und $P\left(2\,\bigg \vert \,\dfrac{1}{2}\,\bigg \vert \,-4\right)$

Länge der herausgeschnittenen Strecke bestimmen:

$|\overrightarrow{SP}|\approx 1,12$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Länge der herausgeschnittenen Strecke beträgt ca. $1,12\,[\text{LE}]$ .

Wert für $a$ berechnen, sodass $P(0|0|2,5)$ der Schnittpunkt von $F$ mit der z-Achse ist:

Geradengleichung $z$ für die z-Achse liefert:

$z:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\0}+r \cdot \pmatrix{0\\0\\1}$

Der Punkt $P(0|0|2,5)$ liegt für $r=2,5$ auf der Geraden $z$ und befindet sich somit auf der z-Achse.

Schneide die Ebene $F$ mit der Geraden $z$ , indem die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt wird. Anschließend setze $r=2,5$ , sodass der Punkt $P$ der Schnittpunkt von $F$ mit der z-Achse ist, und bestimme den Wert für $a$ .

$3\cdot (0+0)+2 \cdot(0+0)+(2+a)\cdot r = 3a+4$

$r=2,5$ liefert:

$a=2$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $a=2$ ist der Punkt $P(0|0|2,5)$ der Schnittpunkt von $F$ mit der z-Achse.

Für $a=2$ lautet dann die Ebenengleichung $F$ :

$\begin{array}[t]{rll} 3x+2y+(2+2)\cdot z&=&3\cdot 2+4 &\quad \\[5pt] 3x+2y+4z&=&10 &\quad \\[5pt] \end{array}$

Allgemeinen Wert für $a$ bestimmen:

$Z(0|0|r) , r\in\mathbb{R}$ , beschreibt jeden Punkt der z-Achse.
Schneide die Ebene $F$ mit der Geraden $z$ und forme anschließend nach $a$ um.

$a=\dfrac{4-2r}{(r-3)}, \, r\neq 3, \text{ für} \, r=3 \, \text{existiert keine Lösung})$

Vollständige Lösung anzeigen

Aus der Rechnung folgt, dass es nicht für jeden Punkt $Z$ der z-Achse einen Wert für $a$ gibt, sodass $Z$ der Schnittpunkt von $F$ mit der z-Achse ist.