Aufgabe 1C

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$f(x) = ...$

Der Querschnitt eines Deichs wird durch die von dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden $x$ und $f(x)$ in Metern $(\text{m})$ angegeben.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ .
Markiere in der Abbildung auf der $x$ -Achse das Intervall, in dem der Deich mindestens $5\,\text{m}$ hoch ist.
Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.
Entscheide, ob dieser Deich diese Regel erfüllt, und begründe deine Entscheidung nur mithilfe der Abbildung.

Grafik eines Deichprofils mit Wasserseite, Deichkrone und Landseite, dargestellt in einem Koordinatensystem.

(5 BE)

Berechne die durchschnittliche Steigung des Deichs im Intervall $[0; 30]$ .
Bestimme die größte Steigung des Deichs im Intervall $[0; 30]$ .
Berechne den Neigungswinkel des Deichs an der Stelle $x = 0$ .

(9 BE)

In den Deich eindringendes Wasser teilt den Querschnitt des Deiches in einen unteren feuchten und einen oberen trockenen Bereich. Die Trennlinie zwischen dem trockenen und feuchten Bereich nennt man Sickerlinie. Bei einem bestimmten Wasserstand wird die Sickerlinie innerhalb des Deichs durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$g(x) = 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,1x}$

beschrieben. $x$ und $g(x)$ werden in Metern $\text{(m)}$ angegeben.

Berechne die Höhe, in der die Sickerlinie auf der Wasserseite des Deichs beginnt.

Begründe ohne Rechnung, dass die Sickerlinie stets oberhalb des Bodens verläuft.

Berechne den prozentualen Anteil des feuchten Bereichs im Querschnitt des Deichs.

(10 BE)

Die Sickerlinie verändert sich mit dem Wasserstand. Sie wird beschrieben durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)= a \cdot \mathrm{e}^{-0,1x}, x$ und $h(x)$ in Metern $\text{(m)}$ .

Bestimme einen Näherungswert für $a$ , sodass $h$ den Beginn der Sickerlinie in der Höhe von $2\,\text{m}$ auf der Wasserseite beschreibt.

(4 BE)

Der Bereich der Deichkrone soll abgeplattet werden. Dazu wird Material abgetragen.
Der Querschnitt des Deichs wird dabei so verändert, dass der obere Rand im Bereich der Deichkrone parallel zur Horizontalen verläuft.
Berechne die Breite des abgeplatteten Bereichs, wenn der Deich genau $8 \; \text{m}$ hoch sein soll.
Berechne die Höhe des Deichs, wenn der abgeplattete Bereich $9 \;\text{m}$ breit ist.

(7 BE)

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Lösung 1C

Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass die Breite des Deichs ungefähr $46\,\text{m}$ und die Höhe ungefähr $9\,\text{m}$ beträgt.
Es gilt $\dfrac{46}{9}=5,$ also erfüllt dieser Deich die Regel.

Diagramm eines Deichs mit Wasser- und Landseite sowie Deichkrone. Beschriftete Achsen für y und x.

$f(0)=0$
$f(30)= 8,55$
Die durchschnittliche Steigung im Intervall $[0,30]$ ist gegeben durch $\dfrac{8,55-0}{30-0}=\dfrac{8,55}{30}=0,285.$

Die größte Steigung des Deichs im Intervall $[0,30]$ ist an der Stelle, an der die Ableitung $\(f$ $=-\dfrac{1}{100} \cdot (\dfrac{x^3}{125}-\dfrac{3x^2}{8}+5x-45)$ den größten Wert annimmt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

An der Stelle $x_0 = 0$ nimmt $\(f$ den größten Wert an.

$\(f$
Die größte Steigung des Deichs im Intervall ist also $0,45.$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& 0,45&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&24,2^{\circ} \end{array}$

Der Neigungswinkel des Deichs an der Stelle $x=0$ beträgt ungefähr $24,2^{\circ}.$

Die Sickerlinie beginnt auf der Wasserseite des Deichs an der Stelle, an der erstmals $f(x)=g(x)$ gilt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Die Lösung dieser Gleichung ist durch $x_0 \approx 15,18$ gegeben.
$f(15,18) \approx 4,38$
Die gesuchte Höhe beträgt $4,38\,\text{m}.$

Die Funktion $g$ ist stets positiv, da die $\mathrm{e}$ -Funktion immer größer als $0$ ist. Der Faktor $20$ ändert daran nichts. Da die Sickerlinie durch die Funktion $g$ beschrieben wird, verläuft sie also immer oberhalb des Bodens.

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion $f.$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT

$f(x)=0$ hat die Lösungen $x_1=0$ und $x_2=45,95.$ Der Flächeninhalt des Querschnitts des Deichs in $\,\text{m}^2$ ist somit gegeben durch $A1=\displaystyle\int_{0}^{45,95}f(x)\;\mathrm dx \approx 240,32.$

Der feuchte Bereich im Querschnitt des Deichs wird eingegrenzt durch die Schnittstellen der Graphen von $f$ und $g,$ die durch Lösen der Gleichung $f(x)=g(x)$ ermittelt werden können.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

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2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Die Schnittstellen befinden sich bei $x_3 \approx 15,18$ und $x_4 \approx 45,83.$

Der Flächeninhalt des feuchten Bereichs des Deichs kann somit bestimmt werden durch $A2= \displaystyle\int_{15,18}^{45,83}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx$

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2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

Der Wert des Integrals ist ungefähr $162,46.$ Der Anteil des feuchten Bereichs im Querschnitt des Deichs lässt sich nun berechnen durch $\dfrac{A1-A2}{A1} \approx \dfrac{77,86}{240,32} \approx 0,324,$ also $32,4\,\%.$

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $f(x) =2.$

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2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Die Gleichung hat im betrachteten Intervall die Lösung $x_0 \approx 5,84.$ Der Deich erreicht an dieser Stelle die Höhe von $2\,\text{m}.$

Gesucht ist nun die Lösung der Gleichung $h(5,84)=2,$ also $a \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot 5,84} =2.$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Ein Näherungswert für $a$ ist $3,57.$

Gesucht sind die Lösungen der Gleichung $f(x) = 8.$

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2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Die Gleichung hat im betrachteten Intervall die Lösungen $x_1 \approx 27,39$ und $x_2 \approx 37,72.$
Die Breite des abgeplatteten Bereichs beträgt also $37,72\,\text{m}-27,39\,\text{m}=10,33\,\text{m}.$

Damit der abgeplattete Bereich $9\,\text{m}$ breit ist, muss die Gleichung $f(x) = f(x+9)$ gelten.
Die Lösung dieser Gleichung ist durch $x_3 \approx 28,2$ gegeben.
$f(28,2)\approx 8,19.$
Der Deich ist dann etwa $8,19\,\text{m}$ hoch.

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