Aufgabe 2B

Es gilt .
Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an diesem Tag mehr als 210 Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von mindestens eine halbe Standardabweichung größer als der Erwartungswert der Zufallsgröße ist.
Bestimme die größte natürliche Zahl , für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an diesem Tag weniger als Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen, kleiner als ist.

Begründe mithilfe der Abbildung ohne weitere Berechnung die Abschätzung .
Gib ganzzahlige Werte und mit und so an, dass und der Abstand der Werte und maximal ist.
Die Betreiber des Schwimmbades planen für das Folgejahr eine Erhöhung der Anzahl der Jahreskartenbesitzer auf . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jahreskartenbesitzer an einem bestimmten Tag des Schwimmbad besucht, soll weiterhin mit angenommen werden. Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Jahreskartenbesitzer, die das Schwimmbad an diesem Tag besuchen. Man geht davon aus, dass binomialverteilt ist. Der Erwartungswert von hat den Wert , die Standardabweichung beträgt etwa .
Weise mithilfe von -Umgebungen nach, dass nun gilt.

  Aussage im Sachzusammenhang interpretieren Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. besuchen an einem bestimmten Tag genau Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad.   Wahrscheinlichkeit bestimmen Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. besuchen mehr als Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad.   Wahrscheinlichkeit bestimmen Da binomialverteilt ist, folgt: Für die Wahrscheinlichkeit folgt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. ist der Wert von mindestens eine halbe Standardabweichung größer als der Erwartungswert der Zufallsgröße.   Größtmögliche Zahl bestimmen Gesucht ist das größte mit: Berechne mit deinem GTR für verschiedene Werte von Du erhältst dann: und Also ist

  Wahrscheinlichkeit begründen Der Abbildung ist zu entnehmen, dass die Verteilung von in etwa achsensymmetrisch zur verläuft. Ca. die Hälfte der Einzelwahrschienlichkeiten liegt also links der Symmetrieachse und die andere Hälfte rechts davon.
Bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten immer Die Hälfte ist also Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten links der Symmetriachse und rechts der Symmetrieachse muss also jeweils ca. betrragen. Daher ergibt sich aus der Abbildung die Abschätzung   Ganzzahlige Werte angeben Der Abbildung kannst du entnehmen, dass der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit ist. Dieser Wert liegt näher an der unteren Grenze als an der oberen Grenze Wähle für die rechte Grenze also Mit der obigen Begründung kannst du nun die linke Grenze fast bis zum Wert wählen. Überprüfe aber mit deinem GTR die Wahrscheinlichkeiten und und Einen größeren Abstand können und nicht haben, da jeder Schritt nach links bedeuten würde, dass die betrachtete Wahrscheinlichkeit größer als wäre.
Es ist also und   Wahrscheinlichkeit nachweisen Laut einer der Sigma-Umgebungen gilt für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Für mit und folgt: Es gilt daher: Da man bei Andwendung der Sigma-Regeln davon ausgehen kann, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung annähernd symmetrisch ist, gilt zudem jetzt: Also folgt insgesamt: Da ist, gilt damit insbesondere