Aufgabe 3C

In einem Koordinatensystem mit Ursprung $O(0 \mid 0 \mid 0)$ sind die folgenden Vektoren gegeben:

$\overrightarrow{OA} = \pmatrix{4\\0\\-2}, \overrightarrow{OB} = \pmatrix{4\\1,5\\-0,5}$ und $\overrightarrow{OC} = \pmatrix{2\\-2\\-3}$

Zeige die Gültigkeit folgender Aussagen:

Es gibt Werte für $a$ und $b$ , sodass gilt: $\overrightarrow{OC} = a \cdot \overrightarrow{OA} + b \cdot \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OC}$ und $\overrightarrow{AB}$ sind nicht kollinear.

(4 BE)

Die Gerade durch die Punkte $A(4 \mid 0 \mid -2)$ und $B(4 \mid 1,5 \mid -0,5)$ wird mit $g$ bezeichnet.
Die Gerade durch die Punkte $O$ und $C(2 \mid -2 \mid -3)$ wird mit $h$ bezeichnet.

Begründe nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt schneiden.

(3 BE)

Die Geraden $g$ und $h$ liegen in der Ebene $E$ mit der Gleichung

$\overrightarrow{x} = \pmatrix{4\\0\\-2}+s \cdot \pmatrix{0\\1,5\\1,5} + t \cdot \pmatrix{-2\\-2\\-1},$ $\; s \in \mathbb{R}, \; t \in \mathbb{R}$ .

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ wird ein Punkt $D_a \left(a \mid 1 \mid 1-\frac{a}{2} \right)$ betrachtet.

Gib eine Gleichung der Geraden durch $B$ und $D_1$ an.

(2 BE)

Zeige, dass der Punkt $D_a$ für jeden Wert von $a$ in der Ebene $E$ liegt.

(4 BE)

Berechne den Wert von $a$ , sodass sich die Gerade $g$ und die Gerade durch die Punkte $B$ und $D_a$ orthogonal schneiden.

(3 BE)

Bestimme den Wert von $a$ , für den der Abstand von $A$ und $D_a$ minimal ist.

(4 BE)

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$\pmatrix{2\\-2\\-3}=a\cdot \pmatrix{4\\0\\-2}+b \cdot \pmatrix{4\\1,5\\-0,5}$
Die zweite Zeile liefert $b=-\dfrac{4}{3}.$ Durch Einsetzen in die erste Zeile erhält man $a=\dfrac{11}{6}.$ Setzt man diese beiden Werte in die letzte Zeile ein, so liefert auch diese ein korrektes Ergebnis. Somit existieren Werte für $a$ und $b,$ sodass die Gleichung erfüllt ist.

$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\pmatrix{0\\1,5\\1,5}$
Wenn $\overrightarrow{AB}$ kollinear zu $\overrightarrow{OC}$ wäre, müsste die Gleichung $\pmatrix{0\\1,5\\1,5} = t \cdot \pmatrix{2\\-2\\-3}$ eine Lösung haben.
An den ersten beiden Zeilen kann man sofort ablesen, dass dies für kein $t$ möglich ist und $\overrightarrow{AB}$ daher nicht kollinear zu $\overrightarrow{OC}$ sein kann.

Die Geraden $g$ und $h$ müssen in einer Ebene liegen, da $\overrightarrow{OC}$ eine Linearkombination von $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OB}$ ist.
Außerdem ist bekannt, dass $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{OC}$ nicht kollinear sind. Da diese Vektoren gerade die Richtungsvektoren von $g$ bzw. $h$ sind, sind die Geraden weder parallel noch identisch. Somit muss genau ein Schnittpunkt existieren.

Der Punkt $D_1$ hat die Koordinaten $D_1(1 \mid 1 \mid 0,5).$

$\overrightarrow{D_1B}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD_1}=\pmatrix{3\\0,5\\-1}$

Eine Geradengleichung durch die Punkte $B$ und $D_1$ ist gegeben durch $k: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OD_1}+r \cdot \overrightarrow{D_1B}$ $=\pmatrix{1\\1\\0,5}+ r \cdot \pmatrix{3\\0,5\\-1}.$

Der Punkt $D_a$ liegt dann in der Ebene $E,$ wenn die folgende Gleichheit für jeden Wert von $a$ und jeweils passende $s$ und $t$ gilt:

$\pmatrix{a\\1\\1-\dfrac{a}{2}}$ $=\pmatrix{4\\0\\-2}+s \cdot \pmatrix{0\\1,5\\1,5} + t \cdot \pmatrix{-2\\-2\\-1}$

Die erste Zeile liefert $t=2-\dfrac{a}{2}.$ Durch Einsetzen in die zweite Zeile ergibt sich $s=\dfrac{2}{3} \cdot (5-a).$
Setzt man diese Werte in die letzte Zeile ein, so ist auch dort die Gleichheit erfüllt. Damit liegt der Punkt $D_a$ für alle Werte von $a$ in der Ebene $E.$

Die Gerade durch die Punkte $B$ und $D_a$ hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{D_aB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD_a}$ $=\pmatrix{4-a\\0,5\\-1,5+0,5a}.$

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist gegeben durch $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\pmatrix{0\\1,5\\1,5}.$

Die beiden Geraden schneiden sich orthogonal, wenn $\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{D_aB}=0$ gilt.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{D_aB}=-1,5 + 0,75a$

$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{D_aB}=0$ ist also für $a=2$ erfüllt.

Für den Wert $a=2$ schneidet die Gerade $g$ die Gerade durch die Punkte $B$ und $D_a$ orthogonal.

$\overrightarrow{AD_a}=\overrightarrow{OD_a}-\overrightarrow{OA}=\pmatrix{a-4\\1\\3-0,5a}$

Der Abstand $d$ zwischen $A$ und $D_a$ ist gegeben durch $\mid \overrightarrow{AD_a}\mid$ $=\sqrt{(a-4)^2+1^2+(3-0,5a)^2}$ $= 1,25a^2-11a+26.$

Gesucht ist nun das Minimum der Funktion $f(a)=1,25a^2-11a+26.$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN

Das Miminum von $f$ befindet sich an der Stelle $a=4,4.$

Für den Wert $a=4,4$ ist der Abstand zwischen $A$ und $D_a$ minimal.

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