Aufgabe 1B

Graph mit Start- und Endpunkten sowie einer Kurve, die die y- und x-Achsen darstellt.

Die nebenstehende Abbildung stellt einen Entwurf für das Profil einer Wasserrutsche dar. Dabei wird für den Startbereich für $-6\leq x<0$ die Funktion $f$ mit

$f(x)=0,03\cdot x^{3}+0,275\cdot x^{2}+4,5$

und für $x\geq0$ die Funktion $g$ mit

$g(x)=0,006\cdot x^{3}-0,1\cdot x^{2}+4,5$

verwendet; $x$ in Metern, $f(x)$ und $g(x)$ Höhe über dem Boden in Metern.
Der waagerechte Boden ist durch die $x$ -Achse gegeben.

a) Bestimmen Sie die Höhe der Rutsche am Startpunkt, die durchschnittliche Steigung im Startbereich und die betragsmäßig größte Steigung im Startbereich.
Weisen Sie nach, dass der Übergang zwischen der Modellierung mit $f$ und $g$ sprung- und knickfrei ist.
Bestimmen Sie die Stelle, an der die Rutsche enden muss, damit sie knickfrei in einen waagerechten Auslaufbereich übergeht.

(15P)

b) Rutscht der Badegast schnell genug, so berührt er nach dem Startbereich die Rutsche nicht mehr und fliegt ein Stück durch die Luft. Seine Flugbahn lässt sich vereinfacht beschreiben durch eine Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+4,5$ ; $\quad$ $-0,1 < a < 0$ $\quad$ $x$ in Metern, $p(x)$ Höhe über dem Boden in Metern.
Bestimmen Sie $a$ so, dass der Badegast im Punkt $T\left(5\mid p(5)\right)$ wieder auf die Rutsche trifft.

(Zur Kontrolle: $a=-0,07$ )

Untersuchen Sie, ob sich die Steigung seiner Flugbahn am Auftreffpunkt $T$ betragsmäßig um mehr als 0,1 von der Steigung der Rutsche an dieser Stelle unterscheidet.

(7P)

c) Die Seitenflächen der Rutsche sollen für $0\leq x\leq11,1$ bis zum Boden verkleidet werden.
Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ einer der zu verkleidenden Seitenflächen.
Jede Seitenfläche soll in zwei Teilflächen zerlegt werden, die mit verschiedenen Materialien verkleidet werden.
Durch den Term

(1) $\quad$ $x_{0}\cdot g(x_{0})+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{x_{0}}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$

kann für $0$ $<$ $x_{0}$ $<$ $11,1$ der Flächeninhalt einer Teilfläche berechnet werden.
Erläutern Sie die diesem Term zugrundeliegende Zerlegung auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 1 der Anlage für einen geeigneten Wert $x_{0}$ .
Eine andere Zerlegung der Seitenfläche ergibt sich aus der Gleichung

(2) $\quad$ $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{x_{0}}\left(g(x)-\dfrac{g(x_{0})}{x_{0}}\cdot x\right)\mathrm{dx}=\dfrac{A}{2}$ .

Erläutern Sie die dieser Gleichung zugrundeliegende Zerlegung auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 2 der Anlage.

(12P)

(34P)

Material

Anlage: Abbildungen zu Teilaufgabe c)

Graph mit Achsen und Kurven in einem Koordinatensystem.

Grafik mit Koordinatensystem und Kurvenverlauf. Beschriftungen und Achsen sichtbar.

Für den Verlauf einer Rutsche werden für $-6\leq x < 0$ die Funktion $f$ mit $f(x)=0,03\cdot x^{3}+0,275\cdot x^{2}+4,5$ und für $x \geq 0$ die Funktion $g$ mit $g(x)=0,006\cdot x^{3}-0,1\cdot x^{2}+4,5$ verwendet; $x$ in Metern, $f(x)$ und $g(x)$ Höhe über dem Boden in Metern. Der waagerechte Boden ist durch die $x$ -Achse gegeben.

a) $\blacktriangleright$ Höhe der Rutsche am Startpunkt

Du sollst die Höhe der Rutsche am Startpunkt bestimmen. Dafür berechnest du $f(-6)$ , da die Funktion $f$ den Startbereich der Rutsche modelliert und der Startpunkt bei $-6$ liegt.

$\begin{array}{rll} f(-6)&=&0,03\cdot (-6)^3 + 0,275 \cdot (-6)^2 +4,5&\\ &=&0,03\cdot (-216) + 0,275 \cdot 36 +4,5&\\ &=&-6,48 + 9,9 +4,5&\\ &=&7,92& \end{array}$

Die Höhe im Startpunkt der Rutsche beträgt $7,92 m$ .

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Steigung im Startbereich

Um die durchschnittliche Steigung im Startbereich zu berechnen, benötigst du die mittlere Änderungsrate:

$\Delta m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Der Startbereich beginnt bei $x_1 = -6$ und endet bei $x_2 = 0$ . Berechne also mit diesen Werten und der Formel für die mittlere Änderungsrate die gesuchte durchschnittliche Steigung:

$\begin{array}{rll} \Delta m&=&\dfrac{f(0) - f(-6)}{0 - (-6)} \\[5pt] &=&\dfrac{4,5 - 7,92}{0 +6} \\[5pt] &=&\dfrac{-3,42}{6} \\[5pt] &=& -0,57 \\[5pt] \end{array}$

Die durchschnittliche Steigung im Startbereich beträgt somit $-0,57$

$\blacktriangleright$ Betragsmäßig größte Steigung im Startbereich

Außerdem sollst du die betragsmäßig größte Steigung im Startbereich berechnen. Die Ableitung der Funktion $f$ beschreibt die Steigung im Startbereich. Da $f$ auf dem Bereich $-6 \leq x< 0$ monoton fällt (Steigung negativ), ist die betragsmäßig größte Steigung das Minimum der Ableitung von $f$ . Berechne also zunächst die ersten 3 Ableitungen von $f$ :

$\begin{array}{rll} f(x)&=&0,03\cdot x^3 + 0,275 \cdot x^2 + 4,5\\[5pt] f‘(x)&=&0,09\cdot x^2 + 0,55 \cdot x\\[5pt] f‘‘(x)&=&0,18\cdot x + 0,55\\[5pt] f‘‘‘(x)&=&0,18\\[5pt] \end{array}$

Um das Minimum der 1. Ableitung zu bestimmen, musst du die Nullstelle der 2. Ableitung berechnen:

$\begin{array}{rll} f‘‘(x)&=&0\\[5pt] 0&=&0,18\cdot x + 0,55&\scriptsize \mid\; -0,55\\[5pt] -0,55&=&0,18 \cdot x&\scriptsize \mid\; :0,18\\[5pt] x &=& -3,056 \end{array}$

Die Nullstelle der 2. Ableitung ist gegeben durch $x_0 = -3,056$ . Es handelt sich tatsächlich um ein Minimum, da die 3. Ableitung an der Stelle $x_0$ positiv ist:

$f‘‘‘(-3,056) = 0,18 > 0$

Um die betragsmäßig größte Steigung zu berechnen, setze nun $x_0$ in die 1. Ableitung ein:

$m_{min} = f‘(-3,056) = 0,09\cdot (-3,056)^2 + 0,55 \cdot (-3,056) = -0,84$

Die betragsmäßig größte Steigung ist somit gegeben durch $\mid m_{min}\mid = 0,84$ .

$\blacktriangleright$ Übergang zwischen $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$

Du sollst nachweisen, dass der Übergang zwischen der Modellierung mit $f$ und $g$ sprung- und knickfrei ist. Dafür müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

$f(0) = g(0)$ (Vermeidung des Sprungs)
$f‘(0) = g‘(0)$ (Vermeidung des Knicks)

Die Ableitung von $f$ hast du bereits berechnet. Berechne also noch die Ableitung von $g$ .

$\begin{array}{rll} g(x)&=&0,006\cdot x^3 - 0,1 \cdot x^2 + 4,5\\ g‘(x)&=&0,018\cdot x^2 - 0,2 \cdot x\\ \end{array}$

Überprüfe nun die beiden Bedingungen.

$\begin{array}{rll} f(0)&=&g(0) = 4,5\\ f‘(0)&=&g‘(0) = 0 \end{array}$

Da beide Bedingungen erfüllt sind, verläuft der Übergang zwischen der Modellierung von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ sprung- und knickfrei.

$\blacktriangleright$ Knickfreier Übergang in Auslaufbereich der Rutsche

Du sollst die Stelle berechnen, an der die Rutsche enden muss, damit sie knickfrei in einen waagerechten Auslaufbereich übergeht. Das heißt die Steigung muss übereinstimmen. Eine waagrechte Strecke hat eine Steigung von $0$ , somit muss auch die Funktion $g$ eine Steigung von $0$ haben. Berechne also $g‘(x) = 0$ , um die gesuchte Übergangsstelle zu berechnen:

$\begin{array}{rll} 0&=&g‘(x)& \\ 0&=&0,018\cdot x^2 - 0,2\cdot x&\scriptsize (x \text{ ausklammern}) \\[5pt] 0&=&(0,018\cdot x - 0,2)\cdot x&\scriptsize (x_1 = 0) \\[5pt] 0&=&0,018\cdot x - 0,2&\scriptsize \mid\; +0,2\\[5pt] 0,2&=&0,018\cdot x&\scriptsize \mid\; :0,018\\[5pt] x_2&=&11,11& \end{array}$

Die Stelle, an der die Rutsche knickfrei in einen waagrechten Auslaufbereich übergeht, ist gegeben durch ${x = 11,11}$ .

b) $\blacktriangleright$ Funktion der Flugbahn berechnen

Rutscht der Badegast schnell genug, so berührt er nach dem Startbereich die Rutsche nicht mehr und fliegt ein Stück durch die Luft. Seine Flugbahn lässt sich vereinfacht beschreiben durch eine Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+4,5$ ; $\quad$ $-0,1< a < 0$ ; $\quad$ $x$ in Metern, $p(x)$ Höhe über dem Boden in Metern.
Du sollst $a$ so berechnen, dass der Badegast im Punkt $T\left(5\mid p(5)\right)$ wieder auf die Rutsche trifft. Der Badegast trifft also auf die Funktion $g$ . Der Graph der Funktion $g$ und der Graph der Funktion $p$ müssen dann an der Stelle $x=5$ , an der der Badegast wieder auf die Rutsche trifft, die gleiche Höhe haben. Es gilt also:

$p(5) = g(5) = 0,006 \cdot 5^3 - 0,1 \cdot 5^2 + 4,5 = 2,75$

Der Punkt $T$ hat dann folgende Form $T(5\mid 2,75)$ .
Durch Einsetzen des Punktes $T$ in $p$ kannst du den Parameter $a$ berechnen:

$\begin{array}{rll} p(5)&=&a\cdot 5^2 + 4,5&\\[5pt] 2,75&=&a\cdot 25 + 4,5&\scriptsize \mid\; -4,5\\[5pt] -1,75&=&a\cdot 25 &\scriptsize \mid\; :25\\[5pt] a&=&-0,07 &\scriptsize \mid\; :25\\[5pt] \end{array}$

Die Flugbahn des Badegasts wird modelliert durch $p(x) = -0,07 \cdot x^2 + 4,5$ .

$\blacktriangleright$ Vergleich der Steigungen von Flugbahn und Rutsche im Auftreffpunkt

Du sollst untersuchen, ob sich die Steigung der Flugbahn des Badegasts am Auftreffpunkt $T$ betragsmäßig um mehr als 0,1 von der Steigung der Rutsche an dieser Stelle unterscheidet. Berechne dafür zunächst die Ableitung von $p$ , die Ableitung von $g$ hast du bereits etwas früher in dieser Aufgabe berechnet.

$\begin{array}{rll} p(x)&=&-0,07 \cdot x^2 + 4,5& \\ p‘(x)&=&-0,14 \cdot x& \end{array}$

Berechne nun die Steigung an der Stelle $x=5$ für beide Funktionen:

$\begin{array}{rll} p‘(5)&=&-0,14 \cdot 5 = -0,7&\\ g‘(5)&=&0,018 \cdot 5^2 - 0,2 \cdot 5 = -0,55& \\ \end{array}$

Berechne nun die Steigungsdifferenz:

$\mid -0,7 - (-0,55) \mid = 0,15 > 0,1$

Der Steigungsunterschied ist größer als 0,1.

c) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Seitenfläche berechnen

Die Seitenflächen der Rutsche sollen für $0\leq x\leq11,1$ bis zum Boden verkleidet werden. Du sollst nun den Flächeninhalt $A$ einer der zu verkleidenden Seitenflächen berechnen. Es ist also der Wert des folgenden Integrals gesucht:

$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$

Das Integral kannst du mithilfe deines Graphiktaschenrechners lösen. Zeichne dazu den Graphen der Funktion $g$ und nutze die Integralfunktion aus dem CALC-Menü.

Grafik eines Integrals mit blauer Fläche und mathematischen Funktionen auf einem Taschenrechner-Display.

Alternativ
Du kannst das Integral jedoch auch von Hand berechnen:

$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{11,1} g(x) \mathrm{dx}&=&\displaystyle\int_{0}^{11,1} (0,006\cdot x^3 - 0,1\cdot x^2 +4,5) \mathrm{dx}&\\[5pt] &=& \left[0,0015\cdot x^4 - \frac{1}{30}\cdot x^3 +4,5\cdot x\right]_0^{11,1}&\\[5pt] &=& 0,0015\cdot 11,1^4 - \frac{1}{30}\cdot 11,1^3 +4,5\cdot 11,1 - (0,0015\cdot 0^4 - \frac{1}{30}\cdot 0^3 +4,5\cdot 0)&\\[5pt] &=& 22,7711 - 45,5877 +49,95 - 0&\\[5pt] &=& 27,13& \end{array}$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $27,13 m^2$ .

$\blacktriangleright$ Seitenfläche zerlegen

Jede Seitenfläche soll in zwei Teilflächen zerlegt werden, die mit verschiedenen Materialien verkleidet werden.
Durch den Term

$x_{0}\cdot g(x_{0})+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{x_{0}}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$

kann für $0< x_{0} < 11,1$ der Flächeninhalt einer Teilfläche berechnet werden.

Du sollst nun die diesem Term zugrundeliegende Zerlegung erläutern, dazu sollst du auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 1 der Anlage für einen geeigneten Wert $x_{0}$ arbeiten.
Die Fläche wird durch eine horizontale Strecke, die durch den Punkt $P(x_0 \mid g(x_0))$ verläuft, zerlegt. Die untere Teilfläche besteht dann aus einem Rechteck mit den Kantenlängen $x_0$ und $g(x_0)$ und der Fläche unterhalb der Rutsche, also der Fläche unter $g(x)$ für $x_0 \leq x \leq 11,1$ . Die Skizze sieht beispielsweise folgendermaßen aus:

Graph mit Linien und Gitter für mathematische Darstellungen. Achsen beschriftet mit Werten.

Eine andere Zerlegung der Seitenfläche ergibt sich aus der Gleichung

$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{x_{0}}\left(g(x)-\dfrac{g(x_{0})}{x_{0}}\cdot x\right)\mathrm{dx}=\dfrac{A}{2}$ .

Du sollst die dieser Gleichung zugrundeliegende Zerlegung auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 2 erläutern. Mit dieser Gleichung wird eine Stelle $x_0$ bestimmt, sodass eine Ursprungsgerade durch den Punkt $P(x_0 \mid g(x_0))$ existiert, die die Seitenfläche in zwei gleich große Teile teilt. Eine solche Gerade sollst du dann noch in Abbildung 2 einzeichnen: