Aufgabe 2A

Zur Fußball-Weltmeisterschaft 2014 in Brasilien wurde ein Sammelbuch für die 23 Bilder der deutschen Nationalspieler auf den Markt gebracht. Die zu kaufenden Bilder sind einzeln in undurchsichtiger Folie verpackt. Im Folgenden wird angenommen, dass von jedem Spieler gleich viele Bilder auf dem Markt sind.

Die Zufallsgröße $X$ zählt die Anzahl der gekauften Bilder, die Torwart Neuer zeigen, und wird als binomialverteilt angenommen.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Kauf von zehn Bildern mindestens zweimal das Bild von Neuer enthalten ist.

Einem Sammler fehlt nur noch das Bild von Torwart Neuer.

Bestimme die Mindestanzahl der zu kaufenden Bilder, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\,\%$ mindestens einmal ein Bild von Neuer zu besitzen.

(8P)

b) Ein Supermarkt hat $1.000$ Bilder im Angebot.

Gib die Bedeutung des Intervalls

$\left[1.000 \cdot \dfrac{1}{23} - 1,96 \cdot \sqrt{1.000 \cdot \dfrac{1}{23} \cdot \dfrac{22}{23}} 1.000 \cdot \dfrac{1}{23} + 1,96 \cdot \sqrt{1.000 \cdot \dfrac{1}{23} \cdot \dfrac{22}{23}}\right]$

im Sachzusammenhang an.

(4P)

c) Jemand möchte eine vollständige Bilderserie haben.

Begründe, dass er noch durchschnittlich $23$ Bilder erwerben muss, wenn nur noch ein Bild fehlt.

Untersuche die Gültigkeit folgender Aussage:

Man muss durchschnittlich $46$ Bilder erwerben, wenn noch zwei Bilder fehlen.

(5P)

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei einem Kauf von zehn Bildern mindestens zwei Bilder von Manuel Neuer enthalten sind. Die Zufallsgröße $X$ , die die Anzahl der Bilder von Neuer beschreibt, ist binomialverteilt.

Insgesamt gibt es für alle $23$ Spieler gleich viele Bilder. Damit ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gleich $\dfrac{1}{23}$ . Es werden außerdem $10$ Bilder gekauft. Dies entspricht der Anzahl $n$ der Versuche.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Bilder Manuel Neuer zeigen, berechnest du mit Hilfe des Gegenereignisses.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq2)&=&1-P(X\leq1) \end{array}$

Du subtrahierst demnach von der gesamten Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bild von Neuer gezogen wird und dass ein Bild gezogen wird.

Dies kannst du mit dem GTR und der Bernoulli-Formel berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} P(X=k)&=&\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} \end{array}$

Du berechnest also folgendes:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq2)&=&1-P(X=0)-P(X=1) \\[5pt] P(X\geq2)&=&1-\binom{10}{0}\cdot \left(\dfrac{1}{23}\right)^0\cdot\left(1-\dfrac{1}{23}\right)^{10-0}-\binom{10}{1}\cdot \left(\dfrac{1}{23}\right)^1\cdot\left(1-\dfrac{1}{23}\right)^{10-1} \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Berechnungen auf einem Taschenrechner mit verschiedenen Formeln und Werten.

Du erhältst für $P(X\geq2)$ den Wert $0,0674$ . Die Wahrscheinlchkeit, dass mindestens zwei Bilder von Manuel Neuer gezogen werden beträgt etwa $6,74\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl an Bildern bestimmen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ soll nun mindestens ein Bild von Neuer bei den gekauften Bildern dabei sein. Um die Mindestanzahl der zu kaufenden Bilder zu bestimmen, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq1)&\geq&0,75 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq1)$ berechnest du über das Gegenereignis $P(X\geq1)=1-P(X=0)$ . Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt $p=\dfrac{1}{23}$ . Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bild von Neuer gekauft wird gleich $\dfrac{22}{23}$ .

Damit erhältst du folgende Ungleichung, die du nach der Mindestanzahl $n$ der zu kaufenden Bilder auflösen kannst.

$\begin{array}[t]{rlll} P(X\geq1)&\geq&0,75 \\[5pt] 1-P(X=0) &\geq&0,75\\[5pt] 1-\left(\dfrac{22}{23}\right)^n&\geq&0,75 &\quad \scriptsize \mid\;-0,75+\left(\dfrac{22}{23}\right)^n \\[5pt] 0,25&\geq&\left(\dfrac{22}{23}\right)^n&\quad \scriptsize \mid\; \log \\[5pt] \log(0,25)&\geq&n\cdot \log\left(\dfrac{22}{23}\right)&\quad \scriptsize \mid\; :\log\left(\dfrac{22}{23}\right);\quad \text{Beachte:}\; \log\left(\dfrac{22}{23}\right) <0 \\[5pt] n&\geq&\dfrac{\log(0,25)}{\log\left(\dfrac{22}{23}\right)}\\[5pt] n&\geq&31,19 \end{array}$

Es müssen mindestens $32$ Bilder gekauft werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ mindestens ein Bild von Neuer zu bekommen.

b) $\blacktriangleright$ Sachzusammenhang angeben

In dieser Teilaufgabe hast du das Intervall

$\left[1000\cdot\dfrac{1}{23}-1,96\cdot\sqrt{1000\cdot\dfrac{1}{23}\cdot\dfrac{22}{23}}\right];\left[1000\cdot\dfrac{1}{23}+1,96\cdot\sqrt{1000\cdot\dfrac{1}{23}\cdot\dfrac{22}{23}}\right]$ gegeben.

Nach der $\boldsymbol{\color{#87c800}{\sigma}}$ -Regel gilt folgendes:

$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)&=&0,95 \end{array}$

Erwartungswert $\mu=n\cdot p$

Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}$

Anzahl der Versuche $n$

Erfolgswahrscheinlichkeit $p$

Gegenwahrscheinlichleit $q$

Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit für eine gewisse Zufallsgröße bei $95\,\%$ .

Beziehe dies nun auf den Sachzusammenhang.

Bei $1000$ Bildern liegt die Anzahl der Bilder eines bestimmten Fußballers mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ in dem gegebenen Intervall.

c) $\blacktriangleright$ Aussage begründen

Du sollst nun begründen, dass man durchschnittlich nur noch $23$ Bilder erwerben muss, wenn einem ein Bild für eine vollständige Bilderserie fehlt.

Da alle Bilder gleich oft vorhanden sind, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ein bestimmtes Bild zu bekommen $\dfrac{1}{23}$ . Überlege dir was dies bedeutet.

Fehlt nur noch ein Bild, beträgt die Wahrscheinlichkeit genau dieses Bild zu ziehen demnach ebenfalls $\dfrac{1}{23}$ . Kauft man $23$ Bilder, so erwartet man also bei einem fehlenden Bild eine vollständige Bilderserie.

$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Aussage untersuchen

Laut der Aussage müsste man durchschnittlich $46$ Bilder erwerben, wenn noch zwei Bilder fehlen. Um die Gültigkeit der Aussage zu untersuchen, überlegst du dir wie groß die Wahrscheinlichkeit ist eins der zwei fehlenden Bilder zu bekommen.

Fehlen zwei Bilder beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit eins der beiden Bilder zu ziehen $\dfrac{2}{23}$ . Die Wahrscheinlichkeit ist demnach größer die Bilder zu bekommen, als bei nur einem fehlenden Bild. Das bedeutet, dass man durchschnittlich weniger als $23$ Bilder kaufen muss, um ein fehlendes Bild zu erlangen. Um eine vollständige Bilderserie bei zwei fehlenden Bildern zu bekommen, muss man deshalb durchschnittlich auch weniger als $46$ Bildern kaufen. Die Aussage ist also nicht korrekt.