Aufgabe 3A

Ein Unternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe einer Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $xy$ -Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$ . Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50 \text m$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen. Begründe, dass die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne im Modell entlang der Gerade

$g:\, \overrightarrow{x} = ...$

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verläuft.

Der Parameter $r$ gibt die Flugdauer in $1000$ Sekunden an. Weise nach, dass der Punkt $P$ mit den Koordinaten $(4827 \mid 872 \mid 50)$ die Position der Drohne nach $300$ Sekunden Flugdauer beschreibt. Bestimme die Geschwindigkeit der Drohne in Metern pro Sekunde während des horizontalen Flugs.

(6 BE)

Während des Flugs auf der vorgesehenen Flugbahn entlang der Geraden $g$ aus Aufgabenteil a) wird die Flugbahn von einer Bodenstation aus überwacht. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0 \mid 0 \mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000 \, \text m$ .

Untersuche, ob sich die Drohne in der durch den Punkt $T(6489 \mid -876 \mid 50)$ dargestellten Position innerhalb oder außerhalb der Reichweite der Bodenstation befindet.
Bewegt sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn, so befindet sie sich von einem bestimmten Zeitpunkt an innerhalb der Reichweite der Bodenstation.
Ermittle die Position, in der sich die Drohne zu diesem Zeitpunkt befindet.
In einer Position auf der vorgesehenen Flugbahn hat die Drohne die geringste Entfernung zur Bodenstation. Diese Position wird durch den Punkt $R$ beschrieben.
Beschreibe ein Verfahren, mit dem unter Verwendung der Abbildung die Koordinaten von $R$ ermittelt werden könnten.

Abb. 1

(8 BE)

Die Bodenstation ändert die Flugbahn der Drohne: Die Drohne weicht im Modell im Punkt $Q(3996 \mid 1746 \mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5 \frac {\text m}{\text s}$ geradlinig auf einen Ausweichlandeplatz zu, der durch den Punkt $A(3900 \mid 1700 \mid 0)$ dargestellt wird.
Berechne, um wie viele Meter sich die Flughöhe pro Sekunde verringert.

(3 BE)

$\blacktriangleright$ Verlauf der Flugbahn begründen

Die Drohne steigt zunächst vom Startpunkt $S(7320\mid -1750\mid 0)$ aus $50\,\text{m}$ vertikal auf. Die Höhe wird durch die $z$ -Koordinate beschrieben. Nach diesem vertikalen Aufstieg befindet sich die Drohne also zunächst im Punkt $S_1(7320\mid -1750\mid 50).$ Von dort aus fliegt sie in Richtung des Landeplatzes $L(-990\mid 6990\mid 0),$ allerdings ohne dabei ihre Höhe zu verändern. Die $z$ -Koordinate des Richtungsvektors muss also $0$ sein.
Die $x$ - und $y$ -Koordinaten des Richtungsvektors können aus dem Vektor $\overrightarrow{SL} = \pmatrix{-8310 \\ 8740 \\ 0}$ verwendet werden. Als Stützpunkt kann $S_1$ verwendet werden.
Die Flugbahn kann also durch eine Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben werden:

$g: \, \overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{7320\\ -1750\\50} + r\cdot \pmatrix{-8310 \\ 8740\\ 0}$

$\blacktriangleright$ Position nachweisen

Eine Flugdauer von $300$ Sekunden entspricht $r=0,3.$

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{4827\\872\\50}$

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Nach $300$ Sekunden Flugdauer befindet sich die Drohne also im Punkt $(4827\mid 872\mid 50).$

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeit der Drohne bestimmen

Innerhalb von $1000$ Sekunden legt die Drohne einen Weg zurück, dessen Länge der Länge des Richtungsvektors der Geraden entspricht.

$\left|\pmatrix{-8310\\8740\\ 0} \right| \approx 12060,00 \,[\text{m}]$

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In $1000$ Sekunden legt die Drohne während des horizontalen Flugs also ca. $12060,00\,\text{m}$ zurück. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von ca. $12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

$\blacktriangleright$ Lage in der Reichweite überprüfen

$\overline{BT} \approx 6548\,[\text{m}]$

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In der durch den Punkt $T$ dargestellten Position befindet sich die Drohne außerhalb der Reichweite der Bodenstation.

$\blacktriangleright$ Position ermitteln

Gesucht ist ein Punkt der Geraden $g,$ der von $B$ einen Abstand von $6000\,\text{LE}$ hat. Die Punkte der Geraden $g$ haben folgende Koordinaten:

$G(7320 -8310r \mid -1750 +8740r \mid 50)$

$6000 = ...$

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Diese Gleichung kannst du mit deinem GTR lösen, indem du

$h(r)=...$

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als Funktion auffasst.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $h$ mit der Gerade zu $y = 6000.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $6000$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Du erhältst:

$r_1\approx 0,16$ und $r_2\approx 0,89$

Je größer der Wert von $r,$ desto weiter ist die Drohne bereits geflogen. Der kleinere der beiden Werte ist daher der Wert, für den die Drohne zum ersten Mal in die Reichweite der Bodenstation gelangt.
Der zugehörige Punkt ist:

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{5990,4 \\ -351,6 \\ 50}$

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Die Drohne befindet sich zu diesem Zeitpunkt in der Position $(5990,4 \mid -351,6 \mid 50).$

$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben

Abb. 1: Skizze

Da $R$ auf der Geraden $g$ liegt, ist die $z$ -Koordinate $50,$ wie bei allen Punkten auf der Geraden.
Die $x$ - und $y$ -Koordinate können mithilfe der Abbildung bestimmt werden. Die Abbildung ist auf die $xy$ -Ebene reduziert. Die Gerade $g$ verläuft in der Abbildung daher durch die Punkte $S$ und $L$ und kann dort eingezeichnet werden. Der Punkt $R$ muss auf dieser Geraden liegen. Gleichzeitig ist $R$ der Punkt von $g$ mit dem kürzesten Abstand zu $B.$ $R$ liegt daher auch auf der Geraden, die orthogonal zu $g$ durch den Punkt $B$ verläuft. Man kann also wie folgt vorgehen:

Einzeichnen der Geraden $g.$
Einzeichnen einer zu $g$ senkrechten Gerade $h$ durch $B$ mithilfe des Geodreiecks.
Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h.$ Die Koordinaten dieses Schnittpunkts entsprechen den $x$ - und $y$ -Koordinaten von $R,$ die $z$ -Koordinaten ist $50.$

$\blacktriangleright$ Abnahme der Flughöhe berechnen

Vom Punkt $Q$ zum Punkt $A$ verringert die Drohne ihre Höhe um $50\,\text{m}.$ Berechne die Zeit, die die Drohne für diese Strecke benötigt, indem du zunächst die Länge der Strecke berechnest, die die Drohne dabei zurücklegt:

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AQ} \right|&=& \left| \pmatrix{96\\ 46 \\50} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{13832} \end{array}$

Die Drohne legt auf dem Weg also eine Strecke von $\sqrt{13832} \,\text{m}$ zurück. Sie fliegt mit einer Geschwindigkeit von $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$ Sie benötigt für diese Strecke also:

$\sqrt{13832} \,\text{m} : 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{\sqrt{13832} }{5}\,\text{s}$

In $\frac{\sqrt{13832} }{5}\,\text{s}$ verringert die Drohne ihre Höhe also um $50\,\text{m}.$

Die Höhe pro Sekunde ergibt sich daher zu:

$50\,\text{m} : \frac{\sqrt{13832} }{5}\,\text{s} \approx 2,13\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Pro Sekunde verringert sich die Flughöhe der Drohne um ca. $2,13\,\text{m}.$