Vektorgeometrie

1.1

Gegeben ist die Ebene $E: 2\cdot x_1-3\cdot x_3=12$ .

1.1.1

Berechne den Schnittpunkt von $E$ mit der $x_3$ -Achse.

Gib eine Koordinatenform einer Ebene $F$ an, die parallel zu $E$ aber nicht identisch mit $E$ ist.

Gib eine Koordinatenform einer Ebene $G$ an, die nur eine Gerade mit $E$ gemeinsam hat.

(4 P)

1.1.2

Bestimme $a$ und $b$ , sodass die Ebene $E$ in Normalenform als
$E: \left(\overrightarrow{x}-\pmatrix{0\\0\\a}\right) \circ \pmatrix{6\\0\\b}=0$ geschrieben werden kann.

(2 P)

1.1.3

Prüfe, ob der Punkt $P(1 \mid 0 \mid 1)$ zur Ebene $E$ den Abstand $d=\sqrt{13}$ hat.

(3 P)

1.2

Gegeben sind die Punkte $A(0 \mid 0 \mid 2)$ und $B(0 \mid 0 \mid 4)$ .
Ein weiterer Punkt $C$ erfüllt folgende Bedingungen :

$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}=0$

$\dfrac{1}{2} \cdot \,\bigg \vert \, \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\,\bigg \vert \,=6$

Diagramm eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Punkten A, B und C.

Abb. 1: Skizze

1.2.1

Interpretiere die Bedingungen 1. und 2. geometrisch.

(2 P)

1.2.2

Bei Rotation der Fläche $ABC$ um die Achse $AB$ entsteht ein Rotationskörper.
Bestimme das Volumen dieses Körpers.

Ein möglicher Punkt $C$ hat die Koordinaten $(c \mid c \mid 2)$ mit $c\gt 0.$ Bestimme den Wert von $c$ .

(4 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

1.1.1

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen

Für den Schnittpunkt mit der $x_3$ -Achse muss $x_1=x_2=0$ gelten. Somit folgt mit der Ebenengleichung für die Koordinate $x_3$ des Schnittpunktes:

$x_3=-4$

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Somit gelten für den Schnittpunkt $S$ der Ebene mit der $x_3$ -Achse die Koordinaten $S(0 \mid 0 \mid -4)$ .

$\blacktriangleright$ Ebene in Koordinatenform angeben

Zwei Ebenen sind parallel, wenn sie den gleichen Normalenvektor und einen unterschiedlichen Parameter $d$ besitzen. Somit gilt für $F: 2\cdot x_1 -3 \cdot x_3=10$ , dass die Ebenen $F$ und $E$ parallel zueinander sind aber nicht identisch.

$\blacktriangleright$ Ebene in Koordinatenform angeben

Zwei Ebenen besitzen eine gemeinsame Schnittgerade, wenn sie nicht parallel oder identisch sind. Wähle als Ebene $G$ eine Ebene mit einem Normalenvektor, welcher nicht linear abhängig zu dem Normalenvektor der Ebene $E$ ist.

Somit kann beispielsweise die Ebene $G: x_1+x_2+x_3=0$ angegeben werden.

1.1.2

$\blacktriangleright$ Werte bestimmen

Für die Ebene $E$ in Normalenform und mit $\overrightarrow{x}=\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}$ folgt:

$E: 6 x_1 +b x_3=ab$

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Die bestimmte Gleichung muss ein ganzzahliges Vielfaches von der Ebene $E$ in Koordinatenform sein. Damit ergeben sich für die Ebene $E$ die folgenden Ebenengleichungen in Koordinatenform:

$\text{I}: 6\cdot x_1 + \dotsc$

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Durch Koeffizientenvergleich der Ebenengleichungen folgt $b=-9$ . Entsprechend folgt für $a$ :

$a=-4$

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Für $a=-4$ und $b=-9$ kann die Ebene $E$ durch die gegebene Ebene in Normalenform geschrieben werden.

1.1.3

$\blacktriangleright$ Abstand überprüfen

Mit dem Punkt $P(1 \mid 0 \mid 1)$ und der Ebenengleichung $E$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\0\\-3}$ folgt mit der Hesseschen Normalenform für den Abstand $d$ :

$d=\sqrt{13}$

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Somit besitzt der Punkt $P$ zur Ebene $E$ den Abstand $d=\sqrt{13}$ .

1.2.1

$\blacktriangleright$ Bedingungen interpretieren

Die erste Bedingung gibt an, dass die Verschiebungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ senkrecht aufeinander stehen, da das Skalarprodukt gleich Null ist.

Die zweite Bedingung gibt den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ an. Somit besitzt des Dreieck $ABC$ einen Flächeninhalt von $6 \text{ FE}$ .

1.2.2

$\blacktriangleright$ Volumen des Rotationskörpers bestimmen

Bei der Rotation um die Achse $AB$ entsteht ein Kegel, wobei die Höhe des Kegels entlang der Achse $AB$ verläuft. Für die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AB}$ folgt mit den gegebenen Koordinaten:

$\mid \overrightarrow{AB} \mid =2$

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Somit folgt für die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AC}$ mit der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks und der gegebenen Bedingung für den Flächeninhalt: