Analysis

1.1

Gib die Nullstellen von $f$ mit $f(x)=3 \cdot x^3 -27 \cdot x ; \, x \in \mathbb{R}$ an.

(2 P)

1.2

Die Funktion $g$ erfüllt folgende Bedingungen:

$g‘(3)=2$
$g‘‘(3)=0$
$g‘‘‘(3) \neq 0$

Welche Aussagen lassen sich damit über das Schaubild der Funktion $g$ treffen?

(2 P)

1.3

Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=\mathrm{e}^{2\cdot x}-4\cdot x; \, x \in \mathbb{R}.$

1.3.1

Bestimme den Punkt, an dem das Schaubild von $h$ eine waagerechte Tangente hat.

(3 P)

1.3.2

Ermittle die Stammfunktion von $h$ , deren Schaubild durch den Punkt $P(0 \mid 5)$ verläuft.

(3 P)

1.4

Gegeben ist die Funktion $p$ mit $p(x)=\cos(x); \, x \in \mathbb{R}$ .

1.4.1

Es gilt: $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=1$ .

Bestimme, ohne Verwendung einer Stammfunktion, zwei verschiedene Werte für $a$ , sodass gilt:

$\displaystyle\int_{a}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=2$

Erläutere deine Vorgehensweise.

(3 P)

1.4.2

Beschreibe, wie das Schaubild von $q$ mit $q(x)=-\cos(x+2); \, x \in \mathbb{R},$ aus dem Schaubild von $p$ hervorgeht.

(2 P)

1.1

$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen

Mit $f(x)=0$ folgen für die Koordinaten der Nullstellen:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 3\cdot x^3 -27x&=& 0 \\[5pt] 3x \cdot (x^2-9)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt:

$x_1=0$

$x_{2,3}=\dotsc$

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Die Funktion $f$ besitzt die Nullstellen $x_1=0$ , $x_2=3$ und $x_3=-3$ .

1.2

$\blacktriangleright$ Schaubild beschreiben

Durch die Bedingung $g‘(3)=2$ ist gegeben, dass das Schaubild der Funktion $g$ an der Stelle $x=3$ die Steigung $2$ besitzt.

Durch die Bedingungen $g‘‘(3)=0$ und $g‘‘‘(3)\neq0$ ist das notwendige und hinreichende Kriterium für eine Wendestelle erfüllt. Somit besitzt das Schaubild an der Stelle $x=3$ eine Wendestelle.

1.3.1

$\blacktriangleright$ Koordinaten eines Punktes bestimmen

Das Schaubild von $h$ besitzt eine waagerechte Tangente an der Stelle $x_P$ , falls $h‘(x_P)=0$ gilt. Für die Ableitung der Funktion $h$ folgt mit der Kettenregel:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& \mathrm{e}^{2\cdot x}-4 \cdot x\\[5pt] h‘(x)&=&2 \cdot \mathrm{e}^{2\cdot x}-4 \end{array}$

Für die Stelle $x_P$ folgt:

$x_P= \frac{1}{2} \ln(2)$

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Für die $y$ -Koordinate des Punktes $P$ folgt:

$h\left(\frac{1}{2} \ln(2)\right)= \dotsc$

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Somit folgt $P\left(\frac{\ln(2)}{2} \Big| 2 \cdot (1 -\ln(2))\right)$ .

1.3.2

$\blacktriangleright$ Stammfunktion bestimmen

Für die Stammfunktionen $H$ der Funktion $h$ folgt durch Integration mit Substitution und der Integrationskonstanten $C$ :

$H(x)=\dotsc$

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Da das Schaubild der gesuchten Stammfunktion durch den Punkt $P(0 \mid 5)$ verläuft, muss $H(0)=5$ gelten. Dadurch folgt für die Integrationskonstante $C$ :

$C= 4,5$

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Somit gilt für die Funktionsgleichung der Stammfunktion $H(x)=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot x} - 2 \cdot x^2 + 4,5$ .

1.4.1

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

Die Kosinusfunktion ist zur $y$ -Achse symmetrisch und besitzt Nullstellen bei $x_1=\dfrac{\pi}{2}$ und $x_2=-\dfrac{\pi}{2}$ .
Mit $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=1$ folgt somit, dass für $a=-\dfrac{\pi}{2}$ entsprechend die folgende Gleichung gilt:

$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=2$

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Außerdem ist die Kosinusfunktion $2\pi$ -periodisch und es gilt $\displaystyle\int_{2\cdot \pi+t}^{t}\cos(x)\;\mathrm dx=0$ für alle $t \in \mathbb{R}$ .

Somit gilt entsprechend durch Verschiebung der unteren Integralgrenze um $-2\pi$ :

$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}-2\pi}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=2$

Graph der Cosinus-Funktion mit Achsen und Gitterlinien.

Abb. 1: Skizze

Damit folgt, dass für $a=-\dfrac{\pi}{2}$ und $a=-\dfrac{5\pi}{2}$ die Gleichung $\displaystyle\int_{a}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=2$ gilt.

1.4.2

$\blacktriangleright$ Schaubild beschreiben

Das Schaubild der Funktion $q$ mit $q(x)=-\cos(x+2)$ geht aus dem Schaubild der Funktion $p$ mit $p(x)=\cos(x)$ durch Verschiebung in $x$ -Richtung um $-2$ Einheiten.

Das negative Vorzeichen führt zu einer Spiegelung des Graphen an der $x$ -Achse.