Analysis

1.1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= \frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2 +6$ mit $x\in \mathbb{R}.$
Die folgende Abbildung zeigt einen Aussschnitt des Schaubilds $K$ von $f.$

Abb. 1

1.1.1

Bestimme die reellen Werte von $a,$ $b$ und $c,$ sodass gilt:

$f(x)= a\cdot (x-b)\cdot (x-c)^2;$ $x\in \mathbb{R}$

(3 BE)

1.1.2

Berechne die Koordinaten des Wendepunkts von $K$ und zeige, dass dieser auf der ersten Winkelhalbierenden liegt.

(4 BE)

1.1.3

Das Schaubild $K$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche $A$ ein, die von der $y$ -Achse in zwei Flächen unterteilt wird. Bestimme den prozentualen Anteil des Inhalts der kleineren Fläche am Inhalt von $A.$

(4 BE)

1.1.4

Gib jeweils die Gleichung einer Geraden durch den Punkt $(0\mid 6)$ an, die mit $K$

genau einen Punkt
genau drei Punkte

gemeinsam hat.
Die Gerade mit der Gleichung $y= m\cdot x +6$ soll mit $K$ genau zwei gemeinsame Punkte haben. Bestimme die beiden Werte für die Steigung $m.$

(6 BE)

1.2

Die Funktion $g$ ist gegeben durch

$g(x)= \displaystyle\int_{1}^{x^2+1}\sin (2t)\;\mathrm dt$ mit $x\in \mathbb{R}.$

Gabi behauptet, dass die erste Ableitung der Funktion $g$ wie folgt lautet:

$g‘(x)= \sin \left(2x^2 +2\right) -\sin (2).$

Beurteile diese Behauptung.

(3 BE)

(20 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

1.1.1

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

$b$ und $c$ müssen Nullstellen von $f$ sein, wobei $c$ eine doppelte Nullstelle sein muss. Bestimme also zunächst die Nullstellen von $f.$ Mit der Abbildung erhältst du eine erste Schätzung für die Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=6.$
Einsetzen in die Funktionsgleichung von $f$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f(-3) &= 0 \\[10pt] f(6) &= 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$x_1 = -3$ und $x_2 = 6$ sind also tatsächlich Nullstellen von $f.$
Da der Graph von $f$ an der Stelle $x=6$ zusätzlich einen Tiefpunkt besitzt, muss hier auch $f‘$ eine Nullstelle besitzen, es handelt sich also um eine doppelte Nullstelle. Es ist also $b= -3$ und $c=6.$ Einsetzen liefert folgende vorläufige Gleichung:

$f(x) = a\cdot (x+3) \cdot (x-6)^2$

Berechne nun die Koordinaten eines weiteren Punktes auf dem Graphen von $f$ und führe damit eine Punktprobe durch um $a$ zu bestimmen.
Es ist beispielsweise $f(0)=6.$ Einsetzen liefert:

$a=\frac{1}{18}$

Vollständige Lösung anzeigen

Es ist also $a=\frac{1}{18},$ $b=-3$ und $c=6.$

1.1.2

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Wendepunkts berechnen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2+6 \\[10pt] f‘(x) &=& \frac{1}{6}x^2 - x \\[10pt] f‘‘(x) &=& \frac{1}{3}x -1 \\[10pt] f‘‘‘(x) &=& \frac{1}{3} \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Für eine Wendestelle $x_W$ lautet das notwendige Kriterium $f‘‘(x_W)=0:$

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{3}x -1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] \frac{1}{3}x&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] x &=& 3 \end{array}$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Es ist $f‘‘‘(3)=\frac{1}{3} \neq 0.$ Das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist also ebenfalls erfüllt.
An der Stelle $x_W=3$ besitzt der Graph von $f$ einen Wendepunkt.

4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen

$f(3)= \frac{1}{18}\cdot 3^3 -\frac{1}{2}\cdot 3^2 + 6 = 3$

Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$ lauten also $W(3\mid 3).$

$\blacktriangleright$ Lage des Wendepunkts zeigen

Die erste Winkelhalbierende wird durch die Gleichung $y=x$ mit $x\geq0$ beschrieben. Die Koordinaten des Wendepunkts erfüllen diese Gleichung, da $y_W = x_W$ ist und $x_W\geq 0$ ist.

1.1.3

$\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil bestimmen

1. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen

Den Flächeninhalt $A$ kannst du mithilfe eines Integrals über $f$ bestimmen, dessen Grenzen die beiden Nullstellen von $f$ sind:

$A= 30,375$

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2. Schritt: Teilflächeninhalt berechnen

In der Abbildung kannst du erkennen, dass vermutlich die Teilfläche links der $y$ -Achse die kleinere ist. Du kannst den Flächeninhalt wie oben mit einem Integral in den Grenzen $-3$ bis $0$ berechnen:

$A_1 = 12,375$

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3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen

$\frac{A_1}{A} = \frac{12,375}{30,375} \approx 0,407 = 40,7\,\%$

Die kleinere Fläche hat an der Gesamtfläche $A$ einen Anteil von ca. $40,7\,\%.$

1.1.4

$\blacktriangleright$ Gleichung der Geraden angeben

Eine Gerade, die mit $K$ genau einen Punkt, nämlich den Punkt $(0\mid 6),$ gemeinsam hat ist die $y$ -Achse mit der Gleichung $x=0.$

Eine mögliche Gerade, die durch den Punkt $(0\mid 6)$ verläuft und genau drei Punkte mit $K$ gemeinsam hat, ist beispielsweise die Gerade, die durch $(0\mid6)$ und den Wendepunkt $W(3\mid3)$ verläuft. Die Steigung dieser Geraden kann mithilfe eines Differenzenquotienten berechnet werden:

$m_g = \dfrac{3-6}{3-0} = -1$

Sie hat den $y$ -Achsenabschnitt $6.$ Eine Gleichung dieser Geraden lautet daher:

$y = -x +6$

$\blacktriangleright$ Werte für die Steigung berechnen

Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &= 0 \\[5pt] x_{2/3}&= \frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{81}{4} + 18m} \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein gemeinsamer Punkt der beiden Graphen befindet sich also bereits an der Stelle $x_1=0.$ $m$ muss nun so gewählt werden, dass es nur eine weitere Nullstelle gibt. Dies ist der Fall, wenn der Radikand unter der Wurzel Null ist:

$m = -\frac{9}{8}$

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$m_1=-\frac{9}{8}$ ist also ein Wert für den die Geraden $y= m_1\cdot x +6$ mit $K$ genau zwei Punkte gemeinsam hat.

Eine weitere Gerade, die mit $K$ genau zwei Punkte gemeinsam hat und durch $(0\mid 6)$ verläuft, ist die zur $x$ -Achse parallele Gerade $y=6.$ Für diese gilt $m=0.$

Für $m_1 =-\frac{9}{8}$ und $m_2 = 0$ besitzt die Gerade $y=m\cdot x +6$ genau zwei gemeinsame Punkt mit dem Schaubild $K.$

1.2

$\blacktriangleright$ Ableitung überprüfen

1. Schritt: Funktionsterm umschreiben

$g(x)= ...$

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2. Schritt: Ableitung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} g‘(x) &=& \frac{1}{2}\sin(2x^2+2)\cdot 4x \\[5pt] &=& 2x\cdot \sin(2x^2+2) \\[5pt] \end{array}$

Gabis Behauptung ist also falsch.