Stochastik 1

Ein Institut untersucht im Auftrag eines Streamingdienstes das Medienverhalten von Bürgern einer Großstadt.

1.1

Eine statistische Erhebung unter $1000$ zufällig ausgewählten Teilnehmern hat das Folgende ergeben:
$450$ Teilnehmer sind jugendlich und nutzen einen Streamingdienst. Insgesamt nutzen $800$ Teilnehmer einen Streamingdienst. Die Ergebnisse der Erhebung sind in der nicht vollständig ausgefüllten Tabelle dargestellt.

	$S$	$\overline{S}$
$J$	$450$
$\overline{J}$		$150$
	$800$		$1000$

Dabei bezeichnen $J$ und $S$ die folgenden Ereignisse:

$J:$ Teilnehmer ist jugendlich.

$S:$ Teilnehmer nutzt einen Streamingdienst.

1.1.1

Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Teilnehmer der Erhebung jugendlich ist und einen Streamingdienst nutzt.

Beurteile, ob die Ereignisse $J$ und $S$ stochastisch unabhängig sind.

1.1.2

Erläutere die Bedeutung des Wertes $P_J(S)$ im Sachzusammenhang.

1.2

Dem Institut ist bekannt, dass $70\,\%$ der Nutzer von Streamingdiensten den Anbieter $A,$ $40\,\%$ den Anbieter $B$ und $35\,\%$ beide Anbieter $A$ und $B$ verwenden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nutzer von Streamingdiensten keinen dieser beiden Anbieter verwendet.

1.3

An einer vom Institut organisierten Umfrage nimmt erfahrungsgemäß nur jede fünfte angesprochene Person teil.

1.3.1

Es werden $5000$ zufällig ausgewählte Personen angesprochen.
Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Personen, die an der Umfrage teilnehmen.
Berechne den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X.$
Bestimme die kleinste natürliche Zahl $k,$ für die gilt:

$P(\mu-k\leq X\leq\mu+k)\geq 0,9.$

1.3.2

Ermitteln Sie die Anzahl der Personen, die mindestens angesprochen werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens $1000$ Personen für die Umfrage zu gewinnen.

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1.1.1

Wahrscheinlichkeit angeben

450 von 1000 Teilnehmenden sind jugendlich und nutzen einen Streamingdienst:

$P(J\cap S) = \dfrac{450}{1.000} = 0,45 = 45 \,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 45 % ist ein*e Teilnehmende*r der Erhebung jugendlich und nutzt einen Streamingdienst.

Stochastische Unabhängigkeit beurteilen

Damit $J$ und $S$ stochastisch unabhängig sind, muss folgendes erfüllt sein:

$P(J\cap S) = P(J)\cdot P(S)$

Ausfüllen der Tabelle:

	$S$	$\overline{S}$
$J$	$450$	$\color{#44B350}{50}$	$\color{#44B350}{500}$
$\overline{J}$	$\color{#44B350}{350}$	$150$	$\color{#44B350}{500}$
	$800$	$\color{#44B350}{200}$	$1000$

Es gilt also:

$P(J\cap S) = 45\,\%$

$P(J) = \dfrac{500}{1.000} = 0,5 = 50 \,\%$

$P(S) = \dfrac{800}{1.000} = 0,8 = 90 \,\%$

Damit folgt:

$P(J)\cdot P(S) = 0,5\cdot 0,8 = 0,4$ $=40\,\% \neq P(J\cap S)$

Die Ereignisse $J$ und $S$ sind also nicht stochastisch unabhängig.

1.1.2

$P_J(S)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein*e zufällig ausgewählte*r jugendliche*r Teilnehmende*r der Befragung einen Streamingdienst nutzt.

1.2

Gegeben sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(A) = 0,7\, ,$ $P(B) = 0,4$ und $P(A\cap B) = 0,35$

$P(A\cup B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein*e Nutzer*in von Streamingdiensten mindestens einen der beiden Streamingdienste A oder B nutzt.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit des Gegenereinisses von $A\cup B.$ Mit dem Additionssatz aus der Merkhilfe folgt:

$1-P(A\cup B)$ $= 1-\left(P(A) + P(B)-P(A\cap B)\right)$ $= 1-(0,7 + 0,4 -0,35)$ $= 0,25 = 25\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % nutzt ein*e Nutzer*in von Streamingdiensten keinen der beiden Anbieter A oder B.

1.3.1

Erwartungswert und Standardabweichung berechnen

$X$ ist binomialverteilt mit $n=5.000$ und $p= \frac{1}{5}.$

Mit den entsprechenden Formeln folgt:

$\mu = n\cdot p = 5.000\cdot \frac{1}{5} = 1.000$

$\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ $= \sqrt{5.000\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5}}$ $= \sqrt{800}\approx 28,28$

Kleinste natürliche Zahl bestimmen

Wegen $\sigma \gt 3$ können die Sigma-Regeln angewendet werden. Es gilt:

$P(\mu -1,64\sigma \leq X \leq \mu +1,64\sigma) \approx 0,9$

Einsetzen der Werte ergibt also:

Rechenweg anzeigen

$P(\mu -1,64\sigma \leq X \leq \mu +1,64\sigma) ...$

Eine Probe mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion des Taschenrechners ergibt:

$P(1.000 - 47 \leq X \leq 1.000 + 47 )$ $= P(953 \leq X \leq 1.047)$ $\approx 0,9069 \gt 0,9$

$P(1.000 - 46 \leq X \leq 1.000 + 46 )$ $= P(954 \leq X \leq 1.046)$ $\approx 0,8999 \lt 0,9$

$k=47$ ist also die kleinste natürlich Zahl $k,$ für die die Ungleichung erfüllt ist.

1.3.2

Die Zufallsgröße $X_n$ beschreibt die Anzahl der teilnehmenden Personen unter $n$ angesprochenen Personen. $X_n$ ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=\frac{1}{5}$
Gesucht ist das kleinste $n,$ für das folgendes erfüllt ist:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 1.000) &\geq& 0,95 \\[5pt] 1-P(X_n \leq 999) &\geq& 0,95 &\quad \scriptsize \mid\; - 1 \\[5pt] -P(X_n \leq 999) &\geq& -0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_n \leq 999) &\leq& 0,05 \end{array}$

Mit dem Taschenrechner lassen sich für verschiedene Werte von $n$ die Wahrscheinlichkeiten bestimmen:

$n= 5.000:$ $P(X_n \leq 999) \approx 0,4944$

$n= 5.500:$ $P(X_n \leq 999) \approx 0,0003$

$n= 5.250:$ $P(X_n \leq 999) \approx 0,0401$

$n= 5.230:$ $P(X_n \leq 999) \approx 0,0534$

$n= 5.240:$ $P(X_n \leq 999) \approx 0,0463$

$n= 5.235:$ $P(X_n \leq 999) \approx 0,0498$

$n= 5.234:$ $P(X_n \leq 999) \approx 0,0505$

Es müssen mindestens $5.235$ Personen angesprochen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens $1.000$ Personen für die Umfrage zu gewinnen.

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