Anwendungsorientierte Analysis 2

Ein Gezeitenkraftwerk nutzt die Energie aus der Bewegung des Wassers bei Ebbe und Flut zur Stromerzeugung. Die Funktion $w$ mit

$w(t)=5000 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6} t\right);\quad$ $t \in[0 ; 12]$

modelliert die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Rückhaltebecken eines Gezeitenkraftwerkes über einen Zeitraum von 12 Stunden.
Hierbei ist $t$ die Zeit seit Beobachtungsbeginn $(t=0)$ in Stunden.
$w(t)$ wird in Kubikmeter pro Stunde $\left(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\right)$ angegeben.
Bei Flut fließt das Wasser in das Rückhaltebecken und $w(t)$ ist positiv.
Bei Ebbe fließt das Wasser aus dem Rückhaltebecken und $w(t)$ ist negativ.

3.1

Skizziere das Schaubild von $w.$
Gib den Zeitraum der Flut an.

3.2

Bestimme, wie viele Liter Wasser pro Minute maximal aus dem Rückhaltebecken abfließen.
Ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter.

3.3

Beziehe Stellung zu folgender Aussage:

„Es gibt einen vierstündigen Zeitraum, in dem der Wasserzufluss den Wert von $2500\;\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ nie unterschreitet.“

3.4

Vier Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich $20000\; \text{m}^3$ Wasser im Rückhaltebecken.
Ermittle, zu welchem Zeitpunkt dieser Wasserstand das nächste Mal erreicht wird.
Begründe, dass das Rückhaltebecken mehr als $24000\; \text{m}^3$ Wasser fassen muss.

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3.1

Sinusfunktion Änderungsrate Wasservolumen im Rückhaltebecken - Baden-Württemberg berufl Abi 2023

Bei Flut ist $w(t)$ positiv. Also ist im Zeitraum von 0 bis 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn Flut.

3.2

Gesucht ist das Minimum von $w.$ Da es sich bei $w$ um eine gestreckte Sinusfunktion handelt, lassen sich die Maximal- und Minimalwerte von $w$ anhand der Amplitude bestimmen.

Die Amplitude beträgt $a= 5000.$ Es fließen also maximal $5000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ aus dem Rückhaltebecken ab.

$5000\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}= 5000\cdot 1000\,\frac{\text{dm}^3}{\text{h}}$ $= 5000\cdot 1000:60\,\frac{\text{dm}^3}{\text{min}}$ $\approx 83.333,33\,\frac{\text{dm}^3}{\text{min}}$

Es fließen also maximal ca. 83.333 Liter pro Minute aus dem Rückhaltebecken.

3.3

Wasserzufluss Rückhaltebecken Zeitraum - Baden-Württemberg berufliches Gymnasium 2023 Abi

Wird im Schaubild die Gerade mit $y=2500$ ergänzt, lassen sich die Schnittstellen $t_1\approx 1$ und $t_2 \approx 5$ ablesen.

In diesem Intervall $[1;5]$ verläuft der Graph von $w$ an keiner Stelle unterhalb der Geraden, sodass in diesem Intervall die Zuflussrate von $2500\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ nicht unterschritten wird.

Dieses Intervall hat ungefähr die Länge $4,$ sodass die Aussage zutrifft.

3.4

Nächsten Zeitpunkt ermitteln

$w$ besitzt die Periode $12.$ Innerhalb von 12 Stunden fließt also genauso viel Wasser in das Rückhaltebecken, wie abfließt. Der Wasserstand von $20000\,\text{m}^3$ wird also das nächste Mal $4+12=16$ Stunden nach Beobachtungsbeginn erreicht.

Fassungsvermögen begründen

Vier Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich bereits $20000\,\text{m}^3$ Wasser im Rückhaltebecken. Aufgrund der Periode von 12 Stunden, fließen noch weitere 2 Stunden lang Wasser in das Becken. Dies lässt sich auch dem Schaubild entnehmen.

Die Menge des Wassers, das in dieser Zeit noch hinzufließt, lässt sich mit Hilfe eines Integrals berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{4}^{6}w(t)\;\mathrm dt \approx 4775\,[\text{m}^3]$

Wenn bereits $20000\,\text{m}^3$ Wasser im Rückhaltebecken sind, fließen noch weitere $4775\,\text{m}^3$ hinein. Es muss also mehr als $24000\,\text{m}^3$ Wasser fassen können.

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