Vektorgeometrie 1
3
Gegeben sind die Punkte 
und 
Die Gerade 
enthält die Punkte 
und 
3.1
Zeige, dass 
auf liegt.
Begründe, dass dreimal so weit von 
entfernt ist wie von 
Begründe, dass
4
3.2
Gegeben ist die Gerade 
mit
3.2.1
Zeige, dass die Gerade parallel zu 
aber nicht identisch mit ist.
2
3.2.2
Gib eine Gleichung einer Ebene an, die orthogonal zu ist.
2
7
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3.1
Zeigen, dass 
auf 
liegt.
Dabei ist 
Eine Punktprobe mit den Koordinaten von liefert folgende Gleichung:
Mit der ersten Zeile lässt sich ein Wert für 
berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1 &=& 2 +s\cdot (-4) &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt]
-1 &=& -4s &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt]
\frac{1}{4}&=& s \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6aa7ae414f037d1cc4d1307265acdc993f4269b324d02e159506903aadacd9fd?color=5a5a5a)
Für 
sind auch die anderen beiden Zeilen der Gleichung erfüllt. Daher liegt auf 
Verhältnis der Entfernungen zeigen
Es gilt 
Daher gilt für die Längen der Vektoren auch 
Der Verbindungsvektor von und ist also dreimal so lang wie der Verbindungsvektor von und Also ist dreimal so weit von wie von entfernt.
Eine Punktprobe mit den Koordinaten von
3.2.1
Für die beiden Richtungsvektoren von und gilt:
Die beiden Richtungsvektoren der Geraden sind also linear abhängig und damit parallel.
Damit die beiden Geraden nicht identisch sind, darf nicht auf liegen. Eine Punktprobe liefert folgende Gleichung:
Aus der ersten Zeile folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2 &=& 3 + t\cdot (-1) &\quad \scriptsize \mid\;-2 \;\mid\; +t \\[5pt]
t &=& 1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8e2f09fbeb3ae0e8a69b2402d4c6982a0fbb81365e70f6eae6c3d4c9c182380c?color=5a5a5a)
Aus der zweiten Zeile folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-1 &=& -1 + t &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
0 &=& t
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7e4f112f4620e6ff2a35f97d66f0e47f4543aee94d3ca2e370bc5e7bc9d46fcc?color=5a5a5a)
Beide Ergebnisse für 
stimmen nicht überein. Der Punkt liegt also nicht auf 
Somit sind und parallel aber nicht identisch.
3.2.2
Da ein Normalenvektor einer Ebene orthogonal zur Ebene verläuft, kann der Richtungsvektor von als Normalenvektor der Ebene verwendet werden.
Als Stützvektor kann beispielsweise der Stützvektor von verwendet werden. Es ergibt sich dann folgende Ebenengleichung in Normalenform:
Hinweis: Hier gibt es unendlich viele richtige Antworten. Wichtig ist, dass der Normalenvektor der Ebene parallel zur Geraden verläuft. Insbesondere als Stützpunkt der Ebene kann ein beliebiger Punkt gewählt werden.
Als Stützvektor kann beispielsweise der Stützvektor von