Wahlaufgaben

4 Analysis

Gegeben ist eine im Intervall $[-4; 4]$ definierte Polynomfunktion $f$ vom Grad 3.
Der Graph von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die $x$ -Achse im Punkt $N(4 \mid 0).$
Der Wertebereich von $f$ ist $W_f = [-2; 2].$

Skizziere den Graphen der Funktion $f$ , wenn bekannt ist, dass $\(f$ gilt.

(3 BE)

Bestimme eine Funktionsgleichung einer trigonometrischen Funktion $g$ , sodass $f$ und $g$ im Intervall $[-4; 4]$ dieselben Nullstellen haben.

(2 BE)

4 Lineare Algebra

Der Punkt $A(-1 \mid 2 \mid 4)$ wird an der $x_2x_3$ -Ebene gespiegelt. Der gespiegelte Punkt wird mit $\(A$ bezeichnet.

Zeichne $A$ und $\(A$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

(2 BE)

$P$ ist ein beliebiger Punkt auf der $x_2$ -Achse.

Begründe, dass $P$ genauso weit von $A$ wie von $\(A$ entfernt ist.

(3 BE)

5 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto \mathrm e^{-x} - \mathrm e^{-2x}$ .
$G_f$ schneidet die $x$ -Achse an der Stelle $x_1 = 0$ und hat einen Hochpunkt an der Stelle $x_H.$

baden württemberg berufliches gymnasium abitur 2024

Weise rechnerisch nach, dass $x_1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.

(2 BE)

Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.

(1) $\(f$

(2) $\displaystyle\int_0^2 f(x) \, \mathrm{d}x \lt 2 \cdot f(x_H)$

(3 BE)

5 Lineare Algebra

Gegeben ist die Gerade

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \, r \in \mathbb{R}$

und der Punkt $A(2 \mid 0 \mid 4)$ auf dieser Geraden. Der Punkt $Q(-2 \mid -4 \mid 6)$ liegt nicht auf der Geraden.

Weise nach, dass $|\overrightarrow{QA}|$ dem Abstand von $Q$ zur Geraden $g$ entspricht.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten eines Punktes $B$ auf $g$ , der zusammen mit $A$ und $Q$ ein gleichschenkliges Dreieck bildet.

(3 BE)

6 Stochastik

(PLA; mit Hilfsmitteln)

Bearbeite die folgende Aufgabe unter Berücksichtigung der einzelnen Problemlöseschritte. Dokumentiere und reflektiere deine Vorgehensweise.

Eine Klasse will ein Glücksspiel in Form eines Zufallsexperiments anbieten, bei dem sie im langfristigen Mittel 1 € Gewinn pro Spiel macht.

Entwerfe und beschreibe ein dazu passendes mehrstufiges Zufallsexperiment.

(10 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

4 Analysis

Die drei am nächsten zum Ursprung gelegenen Nullstellen der Funktion $\sin(x)$ sind bei $x=-\pi, x=0$ und $x=\pi.$ Durch Streckung in $x$ -Richtung mit dem Faktor $\frac{\pi}{4}$ nimmt die Sinusfunktion somit dieselben Nullstellen wie $f$ an. Eine mögliche Funktionsgleichung einer trigonometrischen Funktion mit denselben Nullstellen wie $f$ lautet deshalb $g(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right).$

4 Lineare Algebra

Da $A$ und $\(A$ symmetrisch zur $x_2 x_3$ -Ebene liegen und $P$ auf der $x_2$ -Achse, d.h. innerhalb der $x_2x_3$ -Ebene, liegt, ist $P$ von beiden Punkten gleich weit entfernt.

5 Analysis

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] \mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-2x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\mathrm e^{-2x} \\[5pt] \mathrm e^{-x}&=& \mathrm e^{-2x} &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] -x&=& -2x &\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] x&=& 0 \end{array}$

(1)

Die Aussage ist falsch.

Der Graph ist an der Stelle $x=0,5$ rechtsgekrümmt, weshalb $\(f$ gelten muss.

(2)

Die Aussage ist wahr.

Es gilt $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x_h)\;\mathrm dx=2\cdot f(x_h).$ Da die Funktion $f$ im gegebenen Intervall jedoch einen kleineren Flächeninhalt einschließt als die Funktion $g(x)=f(x_h),$ gilt die angegebene Ungleichung.

5 Lineare Algebra

$\overrightarrow{QA}=\pmatrix{2-(-2)\\0-(-4)\\4-6}=\pmatrix{4\\4\\-2}$

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{QA}\circ \pmatrix{2\\-1\\2}=0$

Da der Richtungsvektor der Geraden und der Vektor von dem Punkt $A$ auf der Geraden mit dem Punkt $Q$ senkrecht aufeinander stehen, entspricht $|\overrightarrow{QA}|$ folglich dem Abstand von $Q$ zur Geraden.

$|\overrightarrow{QA}|=\sqrt{4^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{36}=6$

Hat die Strecke $AB$ auch die Länge $6,$ handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. Mit den allgemeinen Koordinaten $B(2r\mid 1-r\mid 2+2r)$ eines Punktes auf $g$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$r^2-2r-3= 0$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} r_{1;2}&=& -\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt] &=& 1\pm\sqrt{4} \\[5pt] &=& 1\pm 2 \\[5pt] r_1&=& 3\\[5pt] r_2&=& -1 \end{array}$

Es gibt also die beiden folgenden Möglichkeiten:

Für $r=3:$

$B(2\cdot 3\mid 1-3\mid 2+2\cdot 3)=B(6\mid -2\mid 8)$

Für $r=-1:$

$B(2\cdot (-1)\mid 1-(-1)\mid 2+2\cdot (-1))$ $=B(-2\mid 2\mid 0)$

Die beiden Punkte mit den Koordinaten $(6\mid -2\mid 8)$ und $(-2\mid 2\mid 0)$ liefern beide eine mögliche Lösung für den gesuchten Punkt $B.$

6 Stochastik

Grundkonzept

Ein mögliches Glücksspiel könnte eine mehrstufige Münzwurf- oder Würfelsequenz mit Einsatz sein, bei der Spieler entweder Geld gewinnen oder ihren Einsatz verlieren. Die Wahrscheinlichkeit des Gewinns und der Verlusthöhe sollten so eingestellt werden, dass der Erwartungswert $E(X)$ genau 1 Euro beträgt.

Spiel entwerfen

Das zweifache Werfen eines Würfels ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Es wird festgelegt, dass der Spieler Geld gewinnt, wenn er zweimal die gleiche Zahl würfelt, was mit einer Wahrscheinlichkeit von $1\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$ der Fall ist. In dem Fall, dass er zwei unterschiedliche Zahlen würfelt, erhält er nichts.

Der erwartete Gewinn für den Spieler soll 1 Euro betragen. Außerdem wird festgelegt, dass ein Schüler bei Gewinn 24 Euro ausgezahlt bekommt. Dann gilt für den Einsatz $x:$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{6}\cdot (24-x)+\dfrac{5}{6}\cdot (-x)&=& 1 \\[5pt] 4-\dfrac{1}{6}x-\dfrac{5}{6}x&=& 1 \\[5pt] 4-x&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] -x&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] x&=& 3 \end{array}$

Spiel beschreiben

Ein mögliches Spiel ist nach den Berechnungen oben das folgende:

Einsatz: Der Spieler zahlt $3 \,€$ Einsatz, um am Spiel teilzunehmen.
Erste Stufe: Der Spieler würfelt mit einem fairen sechsseitigen Würfel.
Zweite Stufe: Der Spieler würfelt ein zweites Mal mit demselben Würfel.
Gewinnbedingung: Wenn bei beiden Würfen dieselbe Zahl geworfen wird, erhält der Spieler $24 \,€.$ Ansonsten erhält er nichts.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?