Matrizen 1

Ein Betrieb produziert in einem ersten Schritt aus den Rohstoffen $R_1$ , $R_2$ und $R_3$ die Zwischenprodukte $Z_1$ , $Z_2$ und $Z_3.$ Daraus werden in einem zweiten Schritt die Endprodukte $E_1$ , $E_2$ und $E_3$ gefertigt.

Der Materialfluss in Mengeneinheiten $(\text{ME})$ wird durch die nachfolgende Tabelle sowie das Verflechtungsdiagramm beschrieben.

Tabelle mit Werten in drei Spalten und drei Zeilen, beschriftet mit E1, E2, E3 und R1, R2, R3.

Verflechtungsdiagramm mit verschiedenen Elementen und Beziehungen zwischen R, Z und E.

1.1

Interpretiere den Wert $5$ in der Tabelle und berechne, wie viele $\,\text{ME}$ der Rohstoffe benötigt werden, um jeweils $10\,\text{ME}$ der Endprodukte zu produzieren.

1.2

Ermittle die Werte von $a$ und $b$ im Verflechtungsdiagramm.

1.3

Um einen reibungslosen Produktionsablauf zu gewährleisten, muss im Lager ein Mindestbestand an Rohstoffen von jeweils $50\,\text{ME}$ vorhanden sein. Von $R_1$ sind noch $345\,\text{ME}$ , von $R_2$ noch $285\,\text{ME}$ und von $R_3$ noch $330\,\text{ME}$ im Lager.
Es sollen nun $25\,\text{ME}$ von $E_2$ hergestellt werden.

Ermittle die hergestellten Mengen von $E_1$ und $E_3,$ falls der Lagerbestand an Rohstoffen bis auf den Mindestbestand vollständig verarbeitet werden soll.

1.4

Ein Kunde erteilt einen Auftrag über $10\,\text{ME}$ von $E_1$ und jeweils $20\,\text{ME}$ von $E_2$ und $E_3.$ Die variablen Herstellungskosten in € pro $\text{ME}$ der Endprodukte sind durch $\overrightarrow{k_v}=(30\,\,\,15\,\,\,45)$ gegeben. Die Fixkosten betragen 500 Euro.

Berechne, wie hoch die Verkaufspreise der einzelnen Endprodukte sein müssen, damit der Gewinn 10 % der Gesamtkosten beträgt und die Preise im selben Verhältnis wie die variablen Herstellungskosten stehen.

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1.1

Um eine ME des Endprodukts $E_2$ herzustellen werden 5 ME des Rohstoffs $R_1$ benötigt.

Aus der Tabelle lässt sich eine Verflechtungsmatrix ablesen. Damit folgt:

$\pmatrix{7 & 5 &2 \\ 6&4&1 \\ 2& 6 & 6 } \cdot \pmatrix{10\\ 10\\10} = \pmatrix{140 \\ 110\\ 140}$

Um jeweils 10 ME der drei Endprodukte herzustellen werden $140\,\text{ME}\, R_1,$ $110\,\text{ME}\, R_2$ und $140\,\text{ME}\, R_3$ benötigt.

1.2

Für die Produktion von $1\,\text{ME }E_1$ werden laut Tabelle unter anderem $7\, \text{ME}\, R_1$ benötigt.
Laut Verflechtungsdiagramm werden zur Produktion $1\,\text{ME }E_1$ $1\,\text{ME }Z_1$ und $2\,\text{ME }Z_2$ benötigt.
Für die Herstellung jeweils einer ME $Z_1$ und $Z_2$ werden wiederum $a\,\text{ME}\, R_1$ und $3 \,\text{ME}\, R_1$ benötigt.

Daraus ergibt sich die Gleichung:

$7 = a\cdot 1 + 3\cdot 2$

Diese ist für $a=1$ erfüllt.

Analog lässt sich mit Hilft von $E_2,$ $Z_2,$ $Z_3$ und $R_2$ eine Gleichung für $b$ aufstellen:

$4 = 1\cdot b + 1\cdot a = b + 1$

Also gilt $b=3.$

1.3

Mithilfe der Verflechtungsmatrix und den Angaben aus der Aufgabe ergibt sich folgende Gleichung:

$\pmatrix{7 & 5 &2 \\ 6&4&1 \\ 2& 6 & 6 } \cdot \pmatrix{e_1\\ 25\\e_3} = \pmatrix{295 \\ 235\\ 280}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad & 7e_1+125 +2e_3 &=& 295 \\ \text{II}\quad& 6e_1 +100 + e_3 &=& 235 \\ \text{III}\quad& 2e_1 + 150 + 6e_3 &=& 280 \\ \hline \text{I$

Aus $\(\text{II$ folgt: $e_3 = 135 -6e_1.$ Einsetzen in $\(\text{I$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$e_1=20$

Für $e_3$ folgt damit:

$e_3 = 135 -6\cdot 20 = 15$

Einsetzen in $\(\text{III$ zur Kontrolle:

$\begin{array}[t]{rll} 2e_1 +6e_3 &=& 130 \\[5pt] 2\cdot 20 + 6\cdot 15 &=& 130 \\[5pt] 130 &=& 130 \end{array}$

Falls der Lagerbestand an Rohstoffen bis auf den Mindestbestand vollständig bearbeitet werden soll und 25 ME $E_2$ produziert werden sollen, werden 20 ME $E_1$ und 15 ME $E_3$ produziert.

1.4

1. Gesamtkosten

Der Produktionsvektor für die Endprodukte lautet $\overrightarrow{p} = \pmatrix{10\\20\\20}.$ Die Fixkosten betragen $500\, €:$ $K_{fix} = 500.$

$K$ $= \overrightarrow{k}_v \cdot \overrightarrow{p} + K_{fix}$ $= \pmatrix{30 & 15 & 45} \cdot \pmatrix{10\\20\\20} + 500$ $= 2.000\,[€]$

Damit der Gewinn 10 % der Gesamtkosten beträgt ergibt sich für den Gesamtverkaufspreis also:

$VP = K \cdot 1,1$ $= 2.000 \cdot 1,1$ $= 2.200\,[€]$

2. Einzelverkaufspreise

Die jeweiligen Verkaufspreise pro ME der Endprodukte werden mit $v_1,$ $v_2$ und $v_3$ bezeichnet.
Diese sollen im gleichen Verhältnis zueinander stehen, wie die variablen Kosten. Daraus folgt: