Vektorgeometrie 2

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug. Dieser wird modelliert durch $g$ mit

$g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{-48\\-48\\3,1}+ t\cdot \pmatrix{4\\4\\-0,2};$

$0 \leq t \leq 15.$

Hierbei ist $t$ die Zeit in Minuten ( $t=0$ ist der Beginn des Landeanflugs) und die Längeneinheit ist Kilometer $(\text{km})$ .
Die $x_3$ -Koordinate ist die Flughöhe über dem Meeresspiegel.

2.1

Die Spitze des Flughafenturms befindet sich in $S(11\mid 14\mid 0,13).$
Berechne, wie weit das Flugzeug eine Minute nach Beginn des Landeanflugs von der Spitze des Flughafenturms entfernt ist.

2.2

In einem Flugraum ist ständig mit anderen Flugzeugen zu rechnen.
Dieser Flugraum wird zylinderförmig modelliert, wobei der Radius $0,8\,\text{km}$ ist und die Rotationsachse durch die Gerade $h$ mit

$h:\overrightarrow{x} =\pmatrix{-40\\-40\\3,6} +s\cdot \pmatrix{0\\1\\0}, s\in \mathbb{R}$

beschrieben wird. Untersuche, ob das Flugzeug während seines Landeanflugs in diesen Flugraum eintritt.

2.3

Die horizontale Landebahn befindet sich auf 100 Meter Höhe über dem Meeresspiegel.
Ermittle den Landepunkt und den Winkel, unter dem das Flugzeug auf der Landebahn aufsetzt.

2.4

Vor der Landung wurde eine Stadt überflogen.

Diese Stadt wird modelliert durch das Rechteck $ABCD.$ Es sind $A(0\mid 0\mid 0,2)$ und $C(11\mid 4 \mid 0,2).$ Das Rechteck liegt in der Ebene mit der Gleichung $x_3=0,2$ und seine Seiten sind parallel zur $x_1$ -Achse bzw. $x_2-$ Achse.

2.4.1

Gib die Koordinaten der Punkte $B$ und $D$ an.

2.4.2

Aus Sicherheitsgründen muss das Flugzeug stets $300\,\text{m}$ über der Stadt fliegen (siehe Abbildung).
Prüfe, ob das Flugzeug diese Mindesthöhe über der Stadt einhält.

Flughafenansicht mit einem grünen Flugzeug, das über eine Stadt mit Menschen und Gebäuden fliegt, unter einem Mond.

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2.1

Nach $t=1$ Minute befindet sich das Flugzeug im Punkt mit den Koordinaten:

$\overrightarrow{OF}_1 = \pmatrix{-48\\-48\\3,1}+ 1\cdot \pmatrix{4\\4\\-0,2}$ $= \pmatrix{-44\\-44\\2,9}$

Für den Abstand des Flughafenturms zur Flugzeugposition folgt:

$\left|\overrightarrow{SF}_1 \right|$ $= \left| \pmatrix{-44-11\\-44-14\\2,9-0,13} \right|$ $=\left| \pmatrix{-55\\-58\\2,77} \right|$ $= \sqrt{55^2+58^2+2,77^2} \approx 79,98\,\text{[km]}$

Eine Minute nach Beginn des Landeanflugs ist das Flugzeug ca. 79,98 km von der Spitze des Flughafenturms entfernt.

2.2

Untersucht wird der Abstand der beiden Geraden $g$ und $h:$

Für das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von $g$ und $h$ folgt:

$\overrightarrow{n}= \pmatrix{4\\4\\-0,2} \times \pmatrix{0\\1\\0}$ $= \pmatrix{0,2\\0\\4}$

Mit der Formel für den Abstand zweier windschiefer Geraden folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$d(g,h)\approx 0,899\,\text{[km]}$

Da der Abstand zwischen $g$ und $h$ größer ist als der Radius des Luftraums, durchfliegt das Flugzeug diesen nicht.

2.3

Landepunkt
Die horizontale Landebahn kann durch die Ebene mit der Gleichung $x_§=0,1$ beschrieben werden. Gesucht ist der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden $g.$ Für $g$ gilt $x_3= 3,1-0,2t.$ Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 3,1-0,2 t&=& 0,1&\quad \scriptsize \mid\;-3,1 \mid\;:(-0,2) \\[5pt] t&=&15 \end{array}$

$\overrightarrow{OL} = \pmatrix{-48\\-48\\3,1}+ 15\cdot \pmatrix{4\\4\\-0,2}$ $=\pmatrix{12\\12\\0,1}$

Die Koordinaten des Landepunkts sind $L(12 \mid 12 \mid 0,1).$

Winkel
Der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene ergibt sich zu

$\sin(\alpha )= \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\0,1} \circ \pmatrix{4\\4\\-0,2} \right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\0,1}\right| \cdot \left|\pmatrix{4\\4\\-0,2} \right|}$ $\approx 0,035$

$\alpha= \sin^{-1}(0,035) \approx 2,01^{\circ}$

Das Flugzeug setzt unter einem Winkel von ca. $2^{\circ}$ auf der Landebahn auf.

2.4.1

Die Koordinaten lauten $B(11 \mid 0 \mid 0,2)$ und $D(0\mid 4 \mid 0,2).$

2.4.2

Die Stadt befindet sich auf 200 Metern Höhe. Um den Abstand einzuhalten muss das Flugzeug über der Stadt also mindestens eine Höhe von 500 Metern über dem Meeresspiegel haben. Die Stelle, an der das Flugzeug diese Höhe hat, ist die an der für seine $x_3$ -Koordinate $x_3=0,5$ gilt.

$\begin{array}[t]{rll} x_3&=&0,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3,1 -0,2 t &=&0,5 &\quad \scriptsize \mid\;-3,1 \mid \; :(-0,2) \\[5pt] t&=&13 \end{array}$

$\overrightarrow{OQ}$ $= \pmatrix{-48\\-48\\3,1}+ 13\cdot \pmatrix{4\\4\\-0,2}$ 

$=\pmatrix{4\\4\\0,5}$

Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $(4 \mid 4 \mid 0,5)$ und liegt genau über der Stadtgrenzlinie $CD.$

Nach $t=14$ Minuten befindet sich das Flugzeug im Punkt $R(8 \mid 8\mid 0,3).$ Das Flugzeug fliegt niedriger aber außerhalb der Stadtgrenzen.

Die Mindesthöhe wird also gerade so eingehalten.

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