Vektorgeometrie

Die Grundfläche eines Hauptbahnhofs (Hbf) wird durch ein Viereck mit den Eckpunkten $B_1(0\mid 1 \mid 0)$ , $B_2(3\mid 0\mid 0)$ , $B_3(5\mid 6\mid 0)$ und $B_4(2\mid 7\mid 0)$ modelliert. Ein Tunnel startet im Punkt $A(0\mid -11\mid 0)$ und endet im Punkt $S(2,5\mid 3,5\mid -0,5)$ . Eine Längeneinheit entspricht 100 Meter (m). Die Modellierung ist in der folgenden (nicht maßstabsgetreuen) Skizze veranschaulicht.

Diagramm eines Tunnels mit Verbindungen zu einem Hauptbahnhof (Hbf) und verschiedenen Punkten.

Abb. 1

1.1

Zeige, dass die Grundfläche des Hbf ein Rechteck ist. Berechne den Inhalt der Grundfläche in Quadratkilometer.

(4 BE)

1.2

Der Tunnel von $A$ nach $S$ wird modelliert durch die Stecke $g$ mit

$g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\-11\\0} + r \cdot \pmatrix{2,5\\14,5\\-0,5}$ ; $0 \leq r \leq 1$ .

1.2.1

Der Tunnel schließt mit der Ebene, in der die Grundfläche des Hbf liegt, einen Winkel ein. Berechne diesen Winkel.

(2 BE)

1.2.2

Untersuche, ob für jeden Punkt des Tunnels der Sicherheitsabstand von mindestens 20 Meter zur Seite $\overline{B_1B_2}$ der Grundfläche des Hbf eingehalten wird.

(4 BE)

1.3

Eine Ebene $E$ besitzt die Darstellung

$E : \pmatrix{1\\3\\0} \cdot \overrightarrow{x} = 13$ .

1.3.1

Prüfe, ob der Punkt $S$ in der Ebene $E$ liegt.

(1 BE)

1.3.2

Gib eine Gleichung der Geraden $k$ durch $A$ an, die orthogonal zu $E$ ist. Zur Planung eines weiteren Tunnels möchte man wissen, wo sich der Punkt $A‘ (\neq A)$ auf $k$ befindet, der denselben Abstand zu $E$ hat wie der Punkt $A$ . Bestimme die Koordinate von $A‘$ .

(4 BE)

(15 BE)

1.1

Rechteckseigenschaften:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{B_1B_2} &=& \pmatrix{3\\-1\\0} \\[5pt] \overrightarrow{B_4B_3} &=& \pmatrix{3\\-1\\0} \\[5pt] \overrightarrow{B_1B_4} &=& \pmatrix{2\\6\\0} \\[5pt] \overrightarrow{B_2B_3} &=& \pmatrix{2\\6\\0} \\[5pt] \end{array}$

Es ist also $\overrightarrow{B_1B_2} = \overrightarrow{B_4B_3}$ und $\overrightarrow{B_1B_4} = \overrightarrow{B_2B_3}.$ Jeweils zwei gegenüberliegende Seiten sind also parallel und gleich lang.
Zudem folgt:

$\overrightarrow{B_1B_2} \circ \overrightarrow{B_1B_4} = 0$

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Für beide Paare gegenüberliegender Seiten gilt also, dass die beiden gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. Zudem besitzt das Viereck im Punkt $B_1$ einen rechten Winkel. Wegen der Parallelitätseigenschaften müssen daher alle vier Innenwinkel rechte Winkel sein. Es handelt sich also um ein Rechteck.

Flächeninhalt der Grundfläche:

$A = 20$

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Umrechnen:

$A=0,2\,\text{km}^2$

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Die Grundfläche des Hauptbahnhofs ist $0,2\,\text{km}^2$ groß.

1.2.1

Die Ebene, in der die Grundfläche des Hauptbahnhofs liegt, ist paralell zur $x_1x_2$ -Ebene. Ein zugehöriger Normalenvektor ist also $\pmatrix{0\\0\\1}.$ Der Richtungsvektor der Geraden lautet $\pmatrix{2,5\\14,5\\-0,5}.$

$\alpha \approx 1,9^{\circ}$

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Der Winkel, den der Tunnel mit der Ebene einschließt, in der die Grundfläche des Hauptbahnhofs liegt, ist ca. $1,9^{\circ}$ groß.

1.2.2

Die Strecke $\overline{B_1B_2}$ wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$h:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\1\\0} + s\cdot\pmatrix{3\\-1\\0};$ $0\leq s\leq 1.$

Für den Abstand benötigt man einen Normalenvektor, der zu beiden Geraden orthogonal ist:

$\overrightarrow{n}= \pmatrix{0,5\\ 1,5 \\ 46 }$

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Für den Abstand erhältst du:

$d(g,h) \approx 0,391$

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Der Abstand des Tunnels zur Seite $\overline{B_1B_2}$ beträgt in jedem Punkt also mindestens ca. $39,1\,\text{m}.$ Der Sicherheitsabstand wird also eingehalten.

1.3.1

$13 = 13$

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Der Punkt $S$ liegt also in der Ebene $E.$

1.3.2

Geradengleichung:

Ein Normalenvektor von $E$ ist $\pmatrix{1\\3\\0}.$

$k:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\-11\\0} + t\cdot \pmatrix{1\\3\\0};$ $t\in \mathbb{R}$

Koordinaten des Punktes:

Die Punkte auf der Geraden $k$ haben die Koordinaten $K(t \mid -11+3t \mid 0).$ Die Ebenengleichung lässt sich auch schreiben als $E:\, 1x_1 +3x_2 = 13.$ Einsetzen der Koordinaten von $K$ in die Ebenengleichung liefert:

$t=4,6$

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$\overrightarrow{OA‘} = \pmatrix{9,2 \\ 16,6 \\ 0}$

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Die Koordinaten von $A‘$ lauten: $A‘(9,2\mid 16,6\mid 0).$