Matrizen

Löse das nachfolgende lineare Gleichungssystem.

In der Matrizengleichung hat die Matrix zwei Zeilen und vier Spalten. Die Matrix ist eine quadratische Matrix.
Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix ?

Die Entwicklung einer Insektenpopulation wird durch folgendes Diagramm modelliert: Aus der Eier werden Larven, von denen sich verpuppen. Aus der Puppen schlüpfen die geschlechtsreifen Insekten, die pro Insekt Eier legen und anschließend sterben. Vereinfachend wird angenommen, dass jedes dieser vier Entwicklungsstadien jeweils Tage benötigt. Zu Beginn zählt man Eier, Larven, Puppen und Insekten.
Wie viele Eier, Larven, Puppen und Insekten zählt man nach dem Modell nach Tagen? Begründe, warum die Population nach dem obigen Modell nicht ausstirbt.

  Gleichungssystem lösen Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist

  Anzahl der Zeilen und Spalten angeben Werden zwei Matrizen und in der Reihenfolge miteinander multipliziert, muss so viele Zeilen haben, wie Spalten hat. Das liegt daran, dass in jedem Schritt die Einträge einer Zeile von mit den Einträge einer Spalte von multipliziert werden. In einer Spalte von müssen sich also genauso viele Einträge wie in den Zeilen von befinden.
hat also Zeilen. Durch die Anzahl der Zeilen von wird die Anzahl der Zeilen von festgelegt. Da quadratisch ist, hat also zwei Zeilen und zwei Spalten.
Die Anzahl der Spalten des Ergebnisses stimmt immer mit der Anzahl der Spalten von überein.
hat also zwei Spalten.

  Begründen, dass die Population nicht ausstirbt Die Übergangsmatrix zu dem Prozess lautet: Die allgemeine Übergangsmatrix hat folgende Form: Es ist also und Es gilt die Regel: Ist so handelt es sich um einen zyklischen Prozess und die Population stirbt nicht aus.
Hier gilt: Die Population stirbt also nicht aus, da es sich um einen zyklischen Prozess handelt und der Bestand daher nach vier Zeitschritten, also Tagen, wieder dem Ausgangsbestand entspricht.