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3.1
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:
\(\begin{array}{lrll} x_1 &+ &x_2 &+& x_3 &=& 4 \\ 2x_1 &- &x_2 &+& 3x_3 &=& 3 \\ & &3x_2 &-& x_3 &=& 5 \\ \end{array}\)
(3 BE)
3.2
Die Vektoren \(.\overrightarrow{a} = \pmatrix{0\\2\\0}\) und \(\overrightarrow{b} = \pmatrix{-3\\2\\4}\) spannen ein Parallelogramm auf.
Zeige, dass die Vektoren \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{a}\) zueinander orthogonal sind.
Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
(4 BE)
(7 BE)
3.1
\(\blacktriangleright\)  Lösungsmenge bestimmen
\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&... \\ \text{II}\quad&... \\ \text{III}\quad&...\\ \end{array}\)
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\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x_1 &+ &x_2 &+& x_3 &=& 4 \\ \text{II}\quad&2x_1 &- &x_2 &+& 3x_3 &=& 3 \\ \text{III}\quad&& &3x_2 &-& x_3 &=& 5 \\ \end{array}\)
Du kannst beispielsweise die dritte Gleichung nach \(x_3\) umformen:
\( \text{III‘} x_3 = 3x_2 -5 \)
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\(\begin{array}[t]{lll} \text{III}& 3x_2 -x_3 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; -3x_2\\[5pt] &-x_3 &=& 5-3x_2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] \text{III‘}& x_3 &=& 3x_2 -5 \end{array}\)
Setzt du diese widerum in die anderen beiden Gleichungen ein, hast du bereits eine Variable eliminiert.
\(\begin{array}[t]{lll} \text{I‘} x_1 +4x_2 = 9 \\[10pt] \text{II‘} 2x_1 +8x_2 = 18 \end{array}\)
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\(\begin{array}[t]{lll} \text{I} & x_1 + x_2 +x_3 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt] &x_1 + x_2 + 3x_2 -5 &=& 4\\[5pt] &x_1 +4x_2 -5&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] \text{I‘} & x_1 +4x_2 &=& 9 \\[10pt] \text{II}& 2x_1 -x_2+3x_3 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt] & 2x_1 -x_2 +3\cdot(3x_2-5)&=& 3 \\[5pt] &2x_1 -x_2 +9x_2-15 &=& 3 \\[5pt] & 2x_1 +8x_2 -15 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +15\\[5pt] \text{II‘}& 2x_1 +8x_2 &=& 18 \end{array}\)
Betrachtest du nun das Gleichungssystem aus \(\text{I‘}\) und \(\text{II‘},\) so hast du nur noch ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen:
\(\begin{array}[t]{lll} \text{I‘} & x_1 + 4x_2 &= 9 \\[5pt] \text{II‘}& 2x_1 + 8x_2 &= 18 \\[5pt] \end{array}\)
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\(\begin{array}[t]{lll} \text{I‘} & x_1& + & 4x_2 &=& 9 \\[5pt] \text{II‘}& 2x_1& + & 8x_2 &=& 18 \\[5pt] \end{array}\)
Du kannst erkennen, dass \(\text{II‘} = 2\cdot \text{I‘}.\) Diese beiden Gleichungen sind also linear abhängig, sodass eine davon wegfällt.
Du hast also insgesamt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen, sodass du eine Variable festlegen kannst, beispielsweise \(x_2\) und alle anderen in Abhängigkeit dieser setzen kannst. Forme also beispielsweise \(\text{I‘}\) nach \(x_1\) um:
\( x_1 = 9-4x_2 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} \text{I‘} & x_1 +4x_2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;-4x_2 \\[5pt] & x_1 &=& 9-4x_2 \end{array}\)
Insgesamt hast du also folgende Darstellungen:
\(\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 9-4x_2 \\[5pt] x_2 &=& x_2 \\[5pt] x_3 &=& 3x_2 -5 \end{array}\)
Setzt du nun \(x_2 =t,\) so gilt:
\(\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 9-4t \\[5pt] x_2 &=& t \\[5pt] x_3 &=& 3t -5 \end{array}\)
Die Lösungsmenge lautet dann:
\( \mathbb{L} = ... \)
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\(\mathbb{L} = \{\left(9-4t \mid t\mid 3t-5 \right)\mid t\in \mathbb{R}\}\)
3.2
\(\blacktriangleright\)  Orthogonalität zeigen
\( \overrightarrow{d} = \pmatrix{-3\\0\\4}\)
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\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \pmatrix{-3\\2\\4} - \pmatrix{0\\2\\0} = \pmatrix{-3\\0\\4}\)
Die beiden Vektoren \(\overrightarrow{d}\) und \(\overrightarrow{a}\) sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
\( \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{d}=0 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{d}&=& \pmatrix{0\\2\\0}\circ\pmatrix{-3\\0\\4} \\[5pt] &=& 0\cdot (-3) + 2\cdot 0 +0\cdot 4 \\[5pt] &=& 0 \end{array}\)
Die beiden Vektoren \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{a}\) sind also orthogonal zueinander.
\(\blacktriangleright\)  Flächeninhalt berechnen
Da \(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{a}\) orthogonal sind, ist \(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\) die Höhe des Parallelogramms zur Seite \(\overrightarrow{a}.\)
Der Flächeninhalt kann daher wie folgt berechnet werden:
\( A=10 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} A &=& \left| \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{a} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{-3\\0\\4} \right| \cdot \left| \pmatrix{0\\2\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2}\cdot \sqrt{0^2 +2^2+0^2} \\[5pt] &=& 5\cdot 2 \\[5pt] &=& 10 \end{array}\)
Skizze
Abb. 1: Skizze
Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(10\,\text{FE}.\)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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