Matrizen

3.1

Bestimme die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\begin{array}{lrll} x_1 &+ &x_2 &+& x_3 &=& 4 \\ 2x_1 &- &x_2 &+& 3x_3 &=& 3 \\ & &3x_2 &-& x_3 &=& 5 \\ \end{array}$

(3 BE)

3.2

Im Folgenden sind alle vorliegenden $(n\times n)$ -Matrizen invertierbar.
$E$ ist die Einheitsmatrix.
Löse die Matrizengleichung

$(B+A)\cdot (E-A) = (X-B)\cdot A$

nach $X$ auf und vereinfache so weit wie möglich.

(4 BE)

(7 BE)

3.1

$\blacktriangleright$ Lösungsmenge bestimmen

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&... \\ \text{II}\quad&... \\ \text{III}\quad&...\\ \end{array}$

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Du kannst beispielsweise die dritte Gleichung nach $x_3$ umformen:

$\text{III‘} x_3 = 3x_2 -5$

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Setzt du diese widerum in die anderen beiden Gleichungen ein, hast du bereits eine Variable eliminiert.

$\begin{array}[t]{lll} \text{I‘} x_1 +4x_2 = 9 \\[10pt] \text{II‘} 2x_1 +8x_2 = 18 \end{array}$

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Betrachtest du nun das Gleichungssystem aus $\text{I‘}$ und $\text{II‘},$ so hast du nur noch ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen:

$\begin{array}[t]{lll} \text{I‘} & x_1 + 4x_2 &= 9 \\[5pt] \text{II‘}& 2x_1 + 8x_2 &= 18 \\[5pt] \end{array}$

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Du kannst erkennen, dass $\text{II‘} = 2\cdot \text{I‘}.$ Diese beiden Gleichungen sind also linear abhängig, sodass eine davon wegfällt.
Du hast also insgesamt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen, sodass du eine Variable festlegen kannst, beispielsweise $x_2$ und alle anderen in Abhängigkeit dieser setzen kannst. Forme also beispielsweise $\text{I‘}$ nach $x_1$ um: