Stochastik 1

In Baden-Württemberg tragen $3,5 \,\%$ aller Zecken FSME-Viren in sich. Diese Viren werden durch Bisse der Zecken auf den Menschen übertragen.

1.1

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_1$ : Von $20$ zufällig ausgewählten Zecken trägt keine einzige FSME-Viren in sich.

$E_2$ : Von $50$ zufällig ausgewählten Zecken trägt höchstens eine FSME-Viren in sich.

$E_3$ : Von $100$ zufallig ausgewählten Zecken tragen mindestens vier FSME-Viren in sich.

(6 BE)

1.2

Prüfe, ob folgende Aussage wahr ist: Das Risiko einer Übertragung der FSME-Viren auf den Menschen übersteigt in Baden-Württemberg erst dann $60\,\%$ , wenn man dort von mindestens $25$ Zecken gebissen wird.

(3 BE)

1.3

Die angegebene Wahrscheinlichkeit von $3,5\,\%$ , mit der die Zecke FSME-Viren in sich trägt, stellt einen Durchschnittswert für ganz Baden- Württemberg dar. In allen Regionen wurden Stichproben genommen und die dortigen relativen Häufigkeiten berechnet. Je dunkler die Region in der Karte dargestellt ist, desto höher sind die relativen Häufigkeiten dafür, dass die Zecken FSME-Viren in sich tragen. Für die Regionen $A$ und $B$ wurde jeweils ein $95\,\%$ -Vertrauensintervall für die unbekannten Wahrscheinlichkeiten, mit der eine Zecke dort FSME-Viren in sich trägt, bestimmt. Für die Stichprobe in der Region $A$ ist bekannt, dass $2000$ Zecken getestet wurden.

Karte mit verschiedenen Regionen, gekennzeichnet durch Buchstaben A und B, in Graustufen dargestellt.

Abb. 1

1.3.1

Bei der Stichprobe in der Region $A$ stellte man fest, dass $58$ Zecken FSME-Viren in sich tragen. Gib das näherungsweise bestimmte $95\,\%$ - Vertrauensintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit an. Interpretiere dein Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3 BE)

1.3.2

Bei der Prüfung der Stichproben wird festgestellt, dass die Längen der Vertrauensintervalle für die beiden Regionen $A$ und $B$ übereinstimmen, in Region $B$ jedoch eine größere relative Häufigkeit als in Region $A$ vorliegt (siehe Karte). Erläutere, was dies für den Umfang der Stichprobe in Region $B$ bedeutet.

(3 BE)

(15 BE)

1.1

Betrachte die Zufallsgröße $X_n,$ die unter $n$ zufällig ausgewählten Zecken die Anzahl der Zecken beschreibt, die FSME-Viren in sich tragen. Da man davon ausgehen kann, dass die Zecken untereinander weitestgehend unabhängig mit FSME infiziert sind und daher die Wahrscheinlichkeit bei jeder Zecke gleich ist, FSME-Viren zu tragen, kann $X$ als binomialverteilt mit $n$ und $p=0,035$ betrachtet werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(E_1) &\approx& 49,04\,\%\\[10pt] P(E_2) &\approx& 47,38\,\%\\[10pt] P(E_3) &\approx& 46,53\,\%\\[10pt] \end{array}$

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1.2

Die Aussage gilt, wenn die $P(X_{24} \geq 1) \lt 0,6$ und $P(X_{25} \geq 1 ) \geq 0,6$ gilt.

$\begin{array}[t]{rll} P(X_{24} \geq 1) &\approx& 57,47 \,\% \\[10pt] P(X_{25} \geq 1) &\approx& 58,96 \,\% \\[10pt] \end{array}$

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Wenn man von $25$ Zecken gebissen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens eine mit FSME-Viren ist, immernoch weniger als $60\,\%.$ Die Aussage ist also nicht wahr.

1.3.1

$X=58,$ $n=2000$

Aus der Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ folgt $c = 1,96.$

$\left[0,0216 ; 0,0364 \right]$

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Das $95\,\%$ -Vertrauensintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Region A zu $\left[0,0216 ; 0,0364 \right].$

Die angenommene Wahrscheinlichkeit von $3,5\,\%$ liegt gerade noch in diesem Intervall. Sie ist also verträglich mit der Stichprobe. Man kann aufgrund der Stichprobe also nicht darauf schließen, dass der relative Anteil der FSME-infizierten Zecken vom Durchschnittswert in Baden-Württemberg abweicht.

1.3.2

Die Längen der Vertrauensintervalle sind:

$\begin{array}[t]{rll} l_A&=& ... \\[10pt] l_B&=& ... \\[10pt] \end{array}$

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Diese beiden Längen sollen gleich sein:

$n_B \gt n_A$

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Der Stichprobenumfang von Region $B$ muss also größer sein, als der in Region A.