Analysis

Aufgabe I 1.1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ durch $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{3}$ . Ihr Graph ist $K.$

Einer der drei Graphen entspricht $K.$
Beurteile für jeden Graphen, ob es sich um $K$ handeln kann.

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(6 BE)

Berechne die Koordinaten aller Punkte, in denen $K$ eine waagerechte Tangente hat.
Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.

(5 BE)

Weise nach, dass $f$ bei $x = 2$ eine Nullstelle hat.

(1 BE)

Neben dem Wendepunkt $W(2 \mid 0)$ besitzt $K$ einen weiteren Wendepunkt $S(0 \mid f(0)).$
Der Punkt $P \left(1 \,\bigg \vert \, \dfrac{4}{3}\right)$ liegt oberhalb des Graphen von $f.$

Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt $P$ schneiden.

(6 BE)

Das Dreieck $PSW$ wird von $K$ in zwei Teile geteilt.

Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von $K.$

(4 BE)

Aufgabe I 1.2

Die CO₂-Konzentration in der Atmosphäre wird seit 1958 durchgehend gemessen. Dabei sind die jährlichen Werte der Jahre 2012 bis 2022 in folgender Tabelle eingetragen. Die CO₂-Konzentration wird in Millionstel ( $\text{ppm}$ , „parts per million“) angegeben.

Jahr	CO₂ $\color{#ffffff}{\,\text{(ppm)}}$
2012	$394,06$
2013	$396,74$
2014	$398,81$
2015	$401,01$
2016	$404,41$
2017	$406,76$
2018	$408,72$
2019	$411,65$
2020	$414,21$
2021	$416,41$
2022	$418,53$

Quelle:
Dr. Pieter Tans, NOAA/GGML and Dr. Ralph Keeling, Scripps Institution of Oceanography
URL: https://gml.noaa.gov/ccgg/trends/data.html, heruntergeladen am 15.05.2023

Bestimme die durchschnittliche Änderungsrate der CO₂-Konzentration im Zeitraum 2012 bis 2022.

(2 BE)

Ermittle ein mathematisches Modell für den gegebenen Verlauf der CO₂-Konzentration. Gib dazu eine geeignete Funktionsgleichung an. Begründe deine Auswahl.

(6 BE)

Berechne die CO₂-Konzentration, die laut deinem Modell im Jahr 2100 zu erwarten ist.

(3 BE)

Deute im Sachzusammenhang, warum ein mathematisches Modell, das auf Messungen innerhalb der Jahre 2012 bis 2022 beruht, nicht grundsätzlich für eine Vorhersage der CO₂-Konzentration im Jahr 2100 verwendet werden kann.

(3 BE)

Der Verlauf der monatlichen Mittelwerte der CO₂-Konzentration ist für die Jahre 2019 bis 2022 in der Abbildung dargestellt. Darin sind neben einem langfristigen Trend auch die Schwankungen innerhalb eines Jahres zu erkennen.

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Entscheide , welche der folgenden Funktionen den abgebildeten Zusammenhang am besten wiedergibt.
Begründe deine Auswahl.

Funktionen anzeigen

(5 BE)

Aufgabe I 2.1

Für eine reelle Zahl $a$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ gegeben durch $f(x)=a \cdot x^2 \cdot(x-4).$ Der Graph von $f$ ist $K_f.$

Ermittle den Wert von $a.$

(2 BE)

Im Folgenden gilt $a = \frac{1}{3}.$

Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes von $K_f$ .

(4 BE)

Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendeltangente $w$ an $K_f$ die $x$ -Achse schneidet.

(5 BE)

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ geht aus $K_f$ durch Verschiebung um $\frac{4}{3}$ in negative $x$ -Richtung sowie eine Verschiebung in $y$ -Richtung hervor.
Es gilt $s(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{16}{9} x.$
Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von $\(s$ dass der Graph von $f$ an der Stelle $1$ rechtsgekrümmt ist.

(3 BE)

Der Ursprung, der Punkt $P(u \mid 0)$ und der Punkt $Q(u \mid f(u))$ bilden für $0,5 \leq u \leq 3,5$ im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt $A(u).$
Erläutere die Bedeutung der Stelle $u,$ die mit folgender Rechnung ermittelt wird:

$\(A$

Dabei gilt:

$\(A$ und $\quad A(0,5) \lt A(3) \quad$ und $\quad A(3,5) \lt A(3) \quad$

(3 BE)

Eine quadratische Funktion $p$ hat dieselben Nullstellen wie $f$ . Die Graphen von $p$ und $f$ schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein.
Ermittle eine Gleichung von $p$ .

(4 BE)

Begründe, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = \mathrm{e}^{f(x)}$ die gleichen Extremstellen wie die Funktion $f$ hat.

(2 BE)

Aufgabe I 2.2

Die Abbildung zeigt den Graphen $K_g$ einer Funktion $g$ im Definitionsbereich $-4 \leq x \leq 4$ .
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe jeweils deine Entscheidung.

(1)

Die zugehörige Ableitungsfunktion $\(g$ hat genau 5 Nullstellen.

(2)

Es gilt: $\displaystyle\int_{0}^{4}g(x)\;\mathrm dx > 0$

(3)

Die Integralfunktion $I_0$ mit $I_0(x) = \displaystyle\int_{0}^{x}g(t)\;\mathrm dt$ ist für $0 \leq x \leq 4$ monoton wachsend.

(6 BE)

Aufgabe I 2.3

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit $k(t) = 20 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-t}$ $(t \geq 0)$ beschreibt die Konzentration eines Medikamentes im Blut.
Hierbei ist $t$ die Zeit seit der Einnahme $(t = 0)$ in Stunden.
$k(t)$ wird in Milligramm pro Liter $\left(\frac{\text{mg}}{\ell}\right)$ angegeben.

Zeichne den Graphen von $k$ für $0 \leq t \leq 10.$

(3 BE)

Gib anhand der Zeichnung näherungsweise den Zeitpunkt an, zu welchem die Konzentration am stärksten abnimmt.

(1 BE)

Es gilt $\(k$ und $\(k$ Erläutere die Bedeutung dieser beiden Aussagen hinsichtlich des Verlaufs des Graphen von $k.$
Interpretiere diese beiden Aussagen im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Ermittle näherungsweise eine Lösung der Gleichung $k(t) - k(t + 1) = 1$ und interpretiere diese Lösung im Sachzusammenhang.

(3 BE)

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Lösung I 1.1

$K_1$ kann nicht $K$ entsprechen, da er für $x\rightarrow \pm \infty$ gegen $-\infty$ verläuft. Der Graph von $f$ muss jedoch aufgrund des dominierenden Terms $\dfrac{1}{12}x^4$ für sehr große bzw. kleine Werte gegen $+\infty$ verlaufen.

$K_2$ kann dem Graphen $K$ entsprechen, da dieser für $x\rightarrow \pm \infty$ gegen $\infty$ verläuft und keine Symmetrie aufweist.

$K_3$ kann nicht $K$ entsprechen, da $f$ eine Variable mit ungeradem Exponenten hat und daher nicht symmetrisch zur $y$ -Achse sein kann.

Die Tangente an $K$ ist waagerecht, wenn gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0$ und $x_2=3.$

Zweite Ableitung bestimmen:

$\(f$

Es gilt also:

$\(f$

Folglich liegt an der Stelle $x=0$ ein Sattelpunkt vor.

$\(f$

An der Stelle $x=3$ liegt also ein Tiefpunkt vor.

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& \dfrac{1}{12}\cdot 2^4-\dfrac{1}{3}\cdot 2^3+\dfrac{4}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Tangentengleichung $\boldsymbol{t_W}$ bestimmen

Die allgemeine Tangentengleichung ist von der Form $t: y=m\cdot x+c.$

Für die Tangente $t_W$ durch den Punkt $W$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen der Koordinaten von $W$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -\dfrac{4}{3}\cdot 2+c \quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{8}{3}\\[5pt] \dfrac{8}{3}&=& c \end{array}$

Daraus folgt $t_W: y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{8}{3}$

Tangentengleichung $\boldsymbol{t_S}$ bestimmen

Für die Tangente $t_S$ durch den Punkt $S$ gilt:

$c=f(0)=\dfrac{4}{3}$

$\(m=f$

Daraus folgt $t_S: y= 0\cdot x + \dfrac{4}{3}= \dfrac{4}{3}$

Schnittstelle der beiden Wendetangenten berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{4}{3}x+\dfrac{8}{3}&=& \dfrac{4}{3} &\quad \scriptsize \; \bigg \vert\, \;-\dfrac{8}{3} \\[5pt] -\dfrac{4}{3}x&=& -\dfrac{4}{3} &\quad \scriptsize \; \bigg \vert\,\; :\left(-\dfrac{4}{3}\right) \\[5pt] x&=& 1 \end{array}$

Wegen $t_S: y=\dfrac{4}{3}$ folgen die Koordinaten des Schnittpunktes $P\left(1\,\bigg \vert \, \dfrac{4}{3}\right).$

Durch Einzeichnen des Dreiecks in die Abbildung des Graphen $K_2$ aus Aufgabenteil a) lässt sich schließen, dass sich der Flächeninhalt aus der Differenz der Tangente im jeweiligen Abschnitt und der Funktion $f$ zusammensetzt.

Grafik einer mathematischen Funktion mit Punkten S, P und W auf den Achsen x und y.

Für den Inhalt der Fläche, welche von $t_S$ und $K$ zwischen den Punkten $S$ und $P$ eingeschlossen wird, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{SP}&=& \,\bigg \vert \,\displaystyle\int_{0}^{1}t_S(x)-f(x)\;\mathrm dx\,\bigg \vert \,&\\[5pt] &=& \,\bigg \vert \,\displaystyle\int_{0}^{1}-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{3}x^3\;\mathrm dx\,\bigg \vert \,& \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \,\left[-\dfrac{1}{60}x^5+\dfrac{1}{12}x^4\right]_0^1\,\bigg \vert \,& \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \,-\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{12}\,\bigg \vert \,& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{15} \; [\text{FE}] \end{array}$

Für den Inhalt der Fläche, welche von $t_W$ und $K$ zwischen den Punkten $S$ und $P$ eingeschlossen wird, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{PW}&=& \,\bigg \vert \,\displaystyle\int_{1}^{2}t_W(x)-f(x)\;\mathrm dx\,\bigg \vert \,& \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \,\displaystyle\int_{1}^{2}-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{3}\;\mathrm dx\,\bigg \vert \,& \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \,\left[-\dfrac{1}{60}x^5+\dfrac{1}{12}x^4-\dfrac{4}{6}x^2+\dfrac{4}{3}x\right]_1^2\,\bigg \vert \,& \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \,\left(-\dfrac{1}{60}\cdot 32+\dfrac{1}{12}\cdot 16-\dfrac{4}{6}\cdot 4+\dfrac{4}{3}\cdot 2- \left(-\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{4}{6}+\dfrac{4}{3}\right)\right)\,\bigg \vert \,& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{15} \; [\text{FE}] \end{array}$

Der gesamte Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von $K$ ergibt sich also zu:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{SP} + A_{PW} & \\[5pt] &=& \dfrac{2}{15} \; [\text{FE}] \end{array}$

Lösung I 1.2

$\dfrac{418,53-394,06}{2022-2012}=\dfrac{24,47}{10}=2,447\,\frac{\text{ppm}}{\text{Jahr}}$

Die $CO_2$ -Konzentration wird über die Jahre gemessen und weist einen stetigen Anstieg auf. Um ein mathematisches Modell für diesen Verlauf zu erstellen, bietet sich eine Exponentialfunktion an, da der Anstieg über die Zeit exponentiell zu sein scheint.

Für eine Exponentialfunktion der Form $f(x) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot (x - x_0)},$ wobei $a$ die $CO_2$ -Konzentration im Jahr 2012, $b$ die Wachstumsrate und $x_0$ das Jahr 2012 ist, kann die Funktionsgleichung durch Einsetzen des Wertepaars $(2022,418,53)$ bestimmt werden:

Rechenweg anzeigen

$b\approx 0,006$

Insgesamt ergibt sich $f(x) = 394,06 \cdot \mathrm e^{0,006 \cdot (x - 2012)}.$

$\begin{array}[t]{rll} f(2100)&=& 394,06 \cdot \mathrm e^{0,006 \cdot (2100 - 2012)}& \\[5pt] &\approx & 668,14 \end{array}$

Im Jahr 2100 ist eine $CO_2$ -Konzentration von $668,14\,\text{ppm}$ zu erwarten.

Da das Modell nur auf einem kleinen Datenbereich beruht, ist es unsicher, dieses auf Zeiträume von fast 100 Jahren (bis 2100) zu übertragen. Es kann zu unvorhersehbaren Ereignissen kommen, wie zum Beispiel:

Veränderung der weltweiten Emissionspolitik
Technologischer Fortschritt in $CO_2$ -Reduktion
Änderungen im natürlichen $CO_2$ -Kreislauf (z.B. durch Vulkanausbrüche, Veränderungen in der Vegetation)

Diese unvorhersehbaren Ereignisse können den CO₂-Anstieg stark beeinflussen und machen eine präzise Vorhersage über einen so langen Zeitraum schwierig.

Eigenschaften der Funktionen überprüfen

Überprüfen, welche der Funktionen sowohl den linearen Anstieg als auch die Sinus-Schwankungen korrekt modelliert:

Die Funktion $f$ beschreibt einen linearen Anstieg $(0,19x)$ und eine Sinus-Schwankung mit einem angemessenen Amplitudenwert $2,95,$ was den Daten entspricht. Der $y$ -Achsenabschnitt von $410,7$ passt gut zur dargestellten $CO_2$ -Konzentration. Ablesen der Periodenlänge ergibt außerdem den Parameter $b=\dfrac{2 \pi}{12}\approx 0,52,$ welcher nahezu ebenso in der Funktion $f$ gegeben ist.
Die Funktion $g$ enthält keine lineare Komponente, was den gleichmäßigen Anstieg nicht berücksichtigt. Sie beschreibt nur die periodische Schwankung.
Die Funktion $h$ enthält einen linearen Anstieg, durch die Multiplikation mit dem linearen Faktor $0,21x$ ist der Anstieg jedoch viel zu steil.
Bei der Funktion $j$ ist die Sinusfrequenz $1,29$ viel zu hoch, um die Schwankungen im Graphen korrekt darzustellen.

Auswahl der besten Funktion

Die Funktion $f(x)$ beschreibt den linearen Anstieg der $CO_2$ -Konzentration und die Sinus-Schwankungen am besten, da sie eine geeignete Kombination aus Steigung und Schwankungen liefert. Daher ist $f(x)$ die beste Wahl für die Beschreibung des abgebildeten Zusammenhangs.

Lösung I 2.1

Aus der Abbildung kann abgelesen werden, dass der Punkt $(3\mid -3)$ auf $K_f$ liegt. Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung von $f$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -3&=& a\cdot 3^2\cdot (3-4) \\[5pt] -3&=& -9a \quad \scriptsize \mid\; :(-9) \\[5pt] \dfrac{1}{3}&=& a \end{array}$

Ableitung bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{3}x^2\cdot (x-4)& \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{4}{3}x^2 \end{array}$

$\(f$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0$ und $x_2=\dfrac{8}{3}.$

Der Abbildung kann entnommen werden, dass sich der Tiefpunkt an der Stelle $x=\dfrac{8}{3}$ befindet.

$f\left(\dfrac{8}{3}\right)\approx -3,16$

Der Tiefpunkt hat folglich die Koordinaten $\left(\dfrac{8}{3}\,\bigg \vert \,-3,16\right).$

1. Schritt: Wendestelle berechnen

Ableitung bestimmen:

$\(f$

Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Steigung von $\boldsymbol{w}$ berechnen

Für die Steigung $m$ der Wendetangente ergibt sich:

$\(m=f$

Winkel bestimmen

Für den Winkel zwischen der Wendetangente und der $x$ -Achse folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\theta)&=& m &\quad \scriptsize \mid\; \arctan \\[5pt] \theta&=& \arctan\left(\dfrac{4}{3}\right) \\[5pt] \theta&\approx& 53,13^\circ \end{array}$

Ableitungen bestimmen:

$s(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{16}{9}x$

$\(s$

Der Graph von $f$ geht aus dem Graphen der Funktion $s$ durch Verschiebung um $\dfrac{4}{3}$ in positive $x$ -Richtung hervor. Die Verschiebung entlang der $y$ -Achse ist für die Krümmung der Funktion $f$ irrelevant. Es gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Daher ist der Graph von $f$ an der Stelle $1$ rechtsgekrümmt.

$\(A$ gibt an, wie sich der Flächeninhalt ändert, wenn $u$ verändert wird. Aus $\( A$ folgt, dass an der Stelle $u=3$ ein Extremum des Flächeninhalts vorliegt.

Da zudem $\( A$ gilt, handelt es sich um ein Maximum des Flächeninhalts bei $u = 3.$

Die Ungleichungen $A(0{,}5) \lt A(3) \quad \text{und} \quad A(3,5) \lt A(3)$ geben an, dass der Flächeninhalt $A(u)$ auch an den Intervallgrenzen $u = 0,5$ und $u = 3,5$ kleiner ist als der maximale Flächeninhalt eindeutig bei $u = 3.$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt, dass $f$ die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=4$ hat.

Eine quadratische Funktion, die dieselben Nullstellen wie $f(x)$ hat, kann in der folgenden Form geschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=&k \cdot x \cdot(x-4) & \\[5pt] &=&k\cdot (x^2-4x) \end{array}$

Die Graphen von $p(x)$ und $f(x)$ schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein. Es muss also gelten:

Rechenweg anzeigen

$k=2a$

Die gesuchte Funktionsgleichung ist also gegeben durch $p(x)=2a\cdot x\cdot (x-4).$

Die Extremstellen einer Funktion $f(x)$ liegen an den Stellen, an denen $\(f$ gilt. Analog muss bei den Extremstellen von $h(x)$ die Gleichung $\(h$ erfüllt sein. Mit der Kettenregel folgt:

$\(h$

Da $\mathrm{e}^{f(x)}$ niemals null wird (weil die Exponentialfunktion immer positiv ist), kann die Gleichung $h^{\prime}(x)=0$ nur erfüllt sein, wenn $f^{\prime}(x)=0$ ist.

Da $h^{\prime}(x)=0$ genau dann gilt, wenn $f^{\prime}(x)=0$ , hat $h(x)$ dieselben Extremstellen wie $f(x)$ .

Lösung I 2.2

(1)

Die Aussage ist wahr.

Die 5 Extremstellen von $g$ entsprechen 5 Nullstellen von $\(g$

(2)

Die Aussage ist wahr.

Der Flächeninhalt oberhalb der $x$ -Achse ist im betrachteten Intervall größer als unterhalb der $x$ -Achse. Damit ist das Integral insgesamt positiv.

(3)

Die Aussage ist falsch.

Die Funktion $g$ verläuft im betrachteten Intervall auch unterhalb der $x$ -Achse. Daher fällt die Integralfunktion in diesem Bereich.

Lösung I 2.3

Aus der Abbildung lässt sich die Wendestelle bei $t\approx 2$ ablesen.

Bedeutung der Aussagen erläutern

$k^{\prime}(7)\lt 0$ : Die erste Ableitung ist negativ, was bedeutet, dass die Konzentration des Medikaments bei $t=7$ abnimmt. Das Medikament wird also zu diesem Zeitpunkt weiter abgebaut.

$k^{\prime \prime}(7)>0$ : Die zweite Ableitung ist positiv, was darauf hinweist, dass die Abnahme der Konzentration langsamer wird.

Interpretation im Sachzusammenhang

Bei $t=7$ nimmt die Konzentration des Medikaments zwar weiterhin ab, aber langsamer. Dies könnte darauf hindeuten, dass sich die Konzentration demnächst stabilisieren wird.

Lösung der Gleichung angeben

Gesucht ist ein Zeitpunkt $t,$ zu dem der Funktionswert in einem Zeitschritt um 1 abnimmt. Aus der Abbildung lässt sich dieser Wert näherungsweise mit $t\approx 3,5$ ablesen.

Interpretation im Sachzusammenhang

Nach $3,5\,\text{h}$ nimmt die Konzentration innerhalb von einer Stunde um genau $1\,\frac{\mathrm{mg}}{\ell}$ ab.

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