Stochastik

Ein Experiment gelingt in aller Fälle. Prüfe, ob das Experiment bei viermaliger Durchführung mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens einmal gelingt.

und sind zwei beliebige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, dass weder das Ereignis noch das Ereignis eintritt, beträgt . Die Wahrscheinlichkeit, dass und das Gegenereignis von eintritt, beträgt . Die Wahrscheinlichkeit, dass und das Gegenereignis von eintritt, beträgt . Zeige:

  Wahrscheinlichkeit prüfen Die Anzahl der gelungenen Experimente wird mit der Zufallsvariable bezeichnet. Somit ist binomialverteilt mit den Parametern und . Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße berechnet sich mithilfe der Formel für die Binomialverteilung wie folgt: Das Experiment gelingt nicht mindestens einmal mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als bei viermaliger Durchführung.

  Wahrscheinlichkeit zeigen Gegeben ist , und . Mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit folgt für : Somit folgt für mit der Gegenwahrscheinlichkeit: Für folgt analog: Für die Wahrscheinlichkeit folgt: Somit gilt die folgende Gleichung: Damit ist die Behauptung gezeigt.