Stochastik

Ein Glücksrad besteht aus drei Sektoren unterschiedlicher Größe.
Der rote Sektor nimmt die Hälfte des Glücksrads ein, der weiße Sektor ein Drittel und der grüne Sektor den Rest.
Dreht man das Glücksrad, so zeigt beim Stillstand ein Pfeil auf genau einen der drei Sektoren.

2.1

Berechne die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:

$\text A:$ Bei viermaligem Drehen zeigt der Pfeil genau einmal auf den weißen Sektor.

2.2

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis $B$ mit der Wahrscheinlichkeit
$P(B)=3 \cdot \left(\dfrac{1}{6} \right)^2 \left(\dfrac{5}{6} \right)^2$

2.3

Bei einem Spiel wird das Glücksrad einmal gedreht. Der Einsatz beträgt $2$ $\text {€}$ .

Zeigt der Pfeil auf den roten Sektor, so erhält man keine Auszahlung.
Zeigt der Pfeil auf den weißen Sektor, so beträgt die Auszahlung $2$ $\text {€}$
Zeigt der Pfeil auf den grünen Sektor erhält man den Hauptgewinn.

Bestimme, wie hoch beim Hauptgewinn die Auszahlung sein muss, damit es sich um ein faires Spiel handelt.

2.1

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt wie oft bei viermaligem Drehen der Pfeil auf den weißen Sektor zeigt.

$X$ kann als binomialverteilt mit $n=4$ und $p=\dfrac{1}{3}$ angenommen werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=&\pmatrix{4\\1} \cdot \dfrac{1}{3}^1 \cdot \left(1-\dfrac{1}{3}\right)^3 \\[5pt] &=&4 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \\[5pt] &=&\dfrac{32}{81} \end{array}$

2.2

B: Bei viermaligem Drehen zeigt der Pfeil zweimal hintereinander auf den grünen Sektor.

2.3

$Y$ beschreibt den Gewinn des Spieles.

Bei einem fairem Spiel gleichen sich die Einzahlungen und Auszahlungen aus, es gilt $E(Y)=0$ .

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ kann man der folgenden Tabelle entnehmen:

$y_i$	$p$
$-2$	$\dfrac{1}{2}$
$0$	$\dfrac{1}{3}$
$x-2$	$\dfrac{1}{6}$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-2 \cdot \dfrac{1}{2}+0 \cdot \dfrac{1}{3}+(x-2) \cdot \dfrac{1}{6} \\[5pt] 0&=&-1+(x-2) \cdot \dfrac{1}{6} &\quad \scriptsize \mid\;+1\\[5pt] 1&=& (x-2) \cdot \dfrac{1}{6} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6\\[5pt] 6&=&(x-2) &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] 8&=&x \end{array}$

Für ein faires Spiel muss die Auszahlung beim Hauptgewinn $8\,€$ betragen.