Anwendungsorientierte Analysis 3

In Schulversuchen wird die Lösung eines chemischen Stoffes mit Salzsäure versetzt. Dadurch zerfällt der Stoff und dessen Konzentration $c$ sinkt im Laufe der Zeit $t$ .

$v$ ist die momentane Änderungsrate der Konzentration $c$ .

Im Folgenden sind $c$ in Mol pro Liter $\left(\dfrac{\text{mol}}{l}\right)$ und die Zeit $t$ in Sekunden $(s)$ angegeben.

4.1

In einem ersten Versuch wird die Konzentration $c$ in Abhängigkeit von $t$ modelliert durch:

$c(t)=0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}$ ; $t\geq 0.$

4.1.1

Ermittle den Zeitpunkt, zu dem nur noch $10\,\%$ der Anfangskonzentration vorhanden sind.

Gib den Wert von $v$ drei Minuten nach Versuchsbeginn an.
In welcher Einheit wird $v$ gemessen?

(4 P)

4.1.2

Eine der unten stehenden drei Abbildungen zeigt das Schaubild der Funktion $c$ . Entscheide welche. Erläutere, warum die beiden anderen Schaubilder nicht in Frage kommen.

Drei Diagramme mit Kurven A, B und C, die eine Beziehung zwischen c und t darstellen.

Abb. 1: Schaubilder

(2 P)

4.2

Unter anderen Bedingungen berechnet sich die momentane Änderungsrate $v$ zum Zeitpunkt $t$ durch $v(t)=-0,007 \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot t}$ ; $t\geq 0$ .

Die Anfangskonzentration des Stoffes ist dann $0,125 \, \frac{\text{mol}}{\text{l}}$ .

Bestimme, wie viel Prozent der Anfangskonzentration langfristig übrig bleibt.

(4 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

4.1.1

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt ermitteln

Die Anfangskonzentration zur Zeit $t=0$ wird durch $c(0)$ beschrieben. Der Zeitpunkt $t_1$ zu dem nur noch $10\,\%$ der Anfangskonzentration vorhanden sind kann durch die Gleichung $c(t_1)=0,1 \cdot c(0)$ bestimmt werden. Es folgt:

$t \approx 135,45$

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Somit ist nach ungefähr $135,45$ Sekunden nur noch $10\,\%$ der Anfangskonzentration vorhanden.

$\blacktriangleright$ Wert bestimmen und Einheit angeben

Die momentane Änderungsrate der Konzentration $c$ wird durch die Ableitungsfunktion von $c$ beschrieben. Für die momentane Änderungsrate folgt somit die folgende Funktionsgleichung mit der Kettenregel:

$v(t)= \dotsc$

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Somit folgt für drei Minuten also entsprechend $180$ Sekunden nach Versuchsbeginn:

$v(180)\approx -0,0000399$

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Somit beträgt die momentane Änderungsrate nach drei Minuten etwa $-0,0000399 \, \dfrac{\text{mol}}{\text{l} \cdot \text{s}}$ . Die Einheit lautet hierbei $\dfrac{\text{mol}}{\text{l} \cdot \text{s}}$ .

4.1.2

$\blacktriangleright$ Schaubilder beschreiben

Die Abbildung $B$ zeigt das Schaubild der Funktion $c$ .

Die Abbildung $C$ kommt hierbei nicht in Frage, da die Funktionswerte in der Abbildung negativ sind für Werte von $t\geq 0$ und die Konzentration $c$ durch die Funktion $c(t)=0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}$ beschrieben wird, wobei die Funktion $\mathrm{e}^x$ für alle $x \in \mathbb{R}$ größer Null ist.

Die Abbildung $A$ zeigt ein Schaubild, welches zuerst rechtsgekrümmt und für größere Werte von $t$ linksgekrümmt ist. Somit besitzt das dargestellte Schaubild einen Wendepunkt. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle $t_1$ lautet $c‘‘(t_1)=0$ . Für die zweite Ableitung der Funktion $c(t)$ folgt mit der Kettenregel:

$c‘‘(t)=\dotsc$

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Da die Funktion $\mathrm{e}^x$ für alle $x \in \mathbb{R}$ größer Null ist, kann die notwendige Bedingung für eine Wendestelle nicht erfüllt sein und damit kann die Abbildung $A$ nicht das Schaubild der Funktion $c$ darstellen.

4.2

$\blacktriangleright$ Prozentanteil bestimmen

Die Konzentration zur Zeit $t$ kann mit der Stammfunktion $c_c(t)$ der Funktion $v(t)$ beschrieben werden. Für die Stammfunktion $c_c(t)$ der Funktion $v(t)$ folgt:

$c_c(t)=\dotsc$

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Für die Integrationskonstante $C$ folgt mit der Bedingung $c(0)=0,125$ :

$C=0,025$

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Somit gilt für die Konzentration zur Zeit $t$ die Funktion $c_c(t)=0,1 \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot t} +0,025$ . Da die Konzentration langfristig betrachtet wird, muss der Grenzwert für $t\rightarrow \infty$ betrachtet werden.

Für den Anteil $p$ der Anfangskonzentration folgt somit:

$p=0,2$

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Somit bleibt langfristig $20\,\%$ der Anfangskonzentration übrig.