Analysis

1.1

Gib die Nullstellen des Polynoms $p$ mit $p(x)=x^3-100x;$ $x \in \mathbb{R}$ an.

Erstelle ohne weitere Rechnung eine Skizze des Schaubilds von $p$ .

1.2

Die folgende Tabelle enthält Funktionswerte und Werte der ersten beiden Ableitungen einer Polynomfunktion $h$ vom Grad $4$ . Das Schaubild von $h$ ist $K$ .

$x$	$h(x)$	$\(h$	$\(h$
$-1,5$	$2,375$	$-18$	$48$
$-1$	$-2$	$-2$	$18$
$-0,5$	$-1,625$	$2$	$0$
$0$	$-1$	$0$	$-6$
$0,5$	$-1,625$	$-2$	$0$
$1$	$-2$	$2$	$18$
$1,5$	$2,375$	$18$	$48$

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe deine Entscheidungen ohne Funktionsterme zu berechnen.

$P\,(-1\,|\,2)$ liegt auf $K$ .

$K$ besitzt zwei Wendepunkte.

$K$ besitzt drei Punkte mit waagrechter Tangente.

1.3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=3\cdot \sin\left(2 \cdot \left(x+\dfrac{\pi}{12}\right) \right);$ $x \in \mathbb{R}$

1.3.1

Gib zwei benachbarte Wendepunkte des Schaubilds von $f$ an.

1.3.2

Ermittle einen Wert für $b\gt10$ , für den gilt: $\displaystyle\int_{1}^{b}f(x)\;\mathrm dx =0$

1.1

$p(x)=x^3-100x$

Berechnung der Nullstellen:

$x_1=0,$ $x_2=10,$ $x_3=-10$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Funktion $p$ hat bei $x_1=0$ , bei $x_2=10$ und bei $x_3=-10$ eine Nullstelle.

Skizze:

Graf einer mathematischen Funktion mit grüner Kurve auf einem Koordinatensystem.

1.2.

Falsche Aussage
Der Punkt $P(-1\mid2)$ liegt nicht auf $K$ , da man aus der Wertetabelle entnehmen kann, dass $K$ an der Stelle $x=-1$ den Funktionswert $-2$ besitzt.

Wahre Aussage
Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\(f$
Aus der Wertetabelle von $K$ kann man entnehmen, dass $\(h$ und $\(h$ gilt.
Hinreichendes Kriterium für Wendestellen: $\(f$ hat an der Stelle $x_0$ einen Vorzeichenwechsel.
An der Wertetabelle sieht man, dass $\(h$ an der Stelle $x=-0,5$ und an der Stelle $x=0,5$ einen Vorzeichenwechsel hat.
Deshalb besitzt $K$ zwei Wendepunkte.
Der Graph $K$ kann maximal zwei Wendepunkte besitzen, da $h$ eine Polynomfunktion vom Grad 4 ist.

Wahre Aussage
An der Wertetabelle sieht man, dass der Graph zuerst bis zu dem Funktionswert $-2$ sinkt und anschließend steigt. Der Graph steigt bis zum Funktionswert $-1$ und sinkt dann wieder bis zum Funktionswert $-2$ . Anschließend steigt der Graph erneut.
Daraus folgt, dass der Graph $K$ drei Extrempunkte besitzt und da $K$ eine Funktion vom Grad 4 ist kann $K$ keine weiteren Extrempunkte beitzen.

1.3.1

$f(x)=3 \cdot \sin\left(2 \cdot \left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right)$

$f$ hat die Periode $p=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$
$f$ hat die Amplitude $a=3$
Der Graph von $f$ ist um $-\dfrac{\pi}{12}$ in x-Richtung verschoben

Die Standard-Sinusfunktion besitzt bei $x=-\pi$ eine Wendestelle.

Der Graph von $f$ ist um den Faktor $b=2$ entlang der x-Achse gestreckt und um $-\dfrac{\pi}{12}$ in x-Richtung verschoben:
$-\pi \cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{12}=-\dfrac{7}{12}\pi$
Der Graph von $f$ besitzt bei $x=-\dfrac{7}{12}\pi$ eine Wendestelle.

Weitere mögliche Wendestelle: $-\dfrac{7}{12}\pi+\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{1}{12}\pi$
Der Graph von $f$ besitzt bei $x=-\dfrac{1}{12}\pi$ eine weitere Wendestelle.

Der Graph von $f$ besitzt Wendepunkte mit den Koordinaten $\left(-\dfrac{7}{12}\pi\,\bigg \vert \,0\right)$ und $\left(-\dfrac{1}{12}\pi\,\bigg \vert \,0\right)$ .

Wegen dem periodischem Verlauf der Sinusfunktion besitzt die Funktion $f$ unendlich viele Wendepunkte.

Skizze zur Veranschaulichung:

Graph einer mathematischen Funktion mit grünem Verlauf auf einem karierten Hintergrund.

1.3.2

$\displaystyle\int_{1}^{b}f(x)\, \mathrm dx=0$

Der Flächeninhalt ober- und unterhalb der x-Achse ist bei der Sinusfunktion nach einer Periode gleich groß.

Da $f$ die Periode $p=\pi$ hat, gilt $b=1+3 \cdot \pi$ .

$\displaystyle\int_{1}^{1+3 \cdot \pi}f(x)\, \mathrm dx=0$