Die Verwaltung einer Stadt möchte zur Verschönerung insgesamt 1000 Sträucher einpflanzen lassen. Sie bestellt 200 Hibiskussträucher, 300 Schlehensträucher und 500 Wildrosensträucher.

Der Lieferung werden zufällig drei Sträucher zur Kontrolle entnommen.

Begründe, dass für die Wahrscheinlichkeit drei Wildrosensträucher zu entnehmen, gilt:

Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Es wird genau ein Wildrosenstrauch entnommen.
B: Unter den drei Sträuchern befindet sich mindestens ein Hibiskus.

Einige Sträucher sterben bereits im ersten Jahr nach der Pflanzung ab. Erfahrungsgemäß stirbt ein Hibiskusstrauch mit einer Wahrscheinlichkeit von vier Prozent im ersten Jahr ab. Bei den Schlehen- und Wildrosensträuchern liegt diese Wahrscheinlichkeit bei jeweils 1,5 Prozent.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 190 der bestellten Hibiskussträucher im ersten Jahr nach der Pflanzung nicht absterben werden.

Ein zufällig ausgewählter Strauch ist abgestorben.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich hierbei um einen Wildrosenstrauch handelt.

Ein halbes Jahr nach der Einpflanzung werden in einer Stichprobe einige der Hibiskussträucher untersucht. Dabei stellt man fest, dass die relative Häufigkeit der bis dahin bereits abgestorbenen Hibiskussträucher beträgt.
Es wird zudem das näherungsweise -Vertrauensintervall für die nicht bekannte Wahrscheinlichkeit des Absterbens von Hibiskussträuchern in diesem Zeitraum betrachtet. Die Länge dieses Intervalls ist ungefähr
Ermittle damit den Umfang der vorgenommenen Stichprobe.

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Bei der zufälligen Entnahme der drei Sträucher handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen.
Beim ersten Strauch befinden sich noch 500 Wildrosensträucher unter den insgesamt 1000 Sträuchern. Danach sind noch 499 von 999 Sträuchern Wildrosensträucher und beim dritten Strauch noch 498 von 998 Sträuchern.
Mit der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich der angegebene Term.

Mit dem Gegenereignis ergibt sich:

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens zehn der bestellten Hibiskussträucher im ersten Jahr nach der Pflanzung absterben.
Die zufällige Anzahl der im ersten Jahr absterbenden Hibiskussträucher wird mit der Zufallsgröße beschrieben. Diese kann als binomialverteilt mit und angenommen werden. Mit dem Taschenrechner wird die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. werden mindestens der bestellten Hibiskussträucher im ersten Jahr nicht absterben.

Folgende Bezeichnungen werden verwendet: Bei einem Strauch handelt es sich um einen Hibiskusstrauch. Bei einem Strauch handelt es sich um einen Wildrosenstrauch. Bei einem Strauch handelt es sich um einen Schlehenstrauch. Ein Strauch stirbt ab. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit Damit ergibt sich: Mit einer Wahrscheinlichkeit von handelt es sich bei einem zufällig ausgewählten abgestorbenen Strauch um einen Wildrosenstrauch.

Für das Vertrauensintervall gilt: Da es sich um ein -Vertrauensintervall handelt, ist In der Aufgabenstellung ist außerdem die relative Häufigkeit der abgestorbenen Hibiskussträucher in der Stichprobe angegeben: Für die Länge des Vertrauensintervalls gilt daher: Die vorgenommene Stichprobe bestand also aus zufällig ausgewählten Sträuchern.