Stochastik

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter sind als 40 Jahre, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

(1)

Stelle den Sachverhalt im folgenden Baumdiagramm dar.

Diagramm mit mehreren Kästchen und Verbindungen, das eine baumartige Struktur darstellt.

(2)

Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.

Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl der höchstens 40-jährigen Abonnenten des Streamingdienstes binomialverteilt mit $p=0,7$ ist.

(3)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $100$ zufällig ausgewählten Abonnenten genau $70$ höchstens 40 Jahre alt sind.

(4)

Bestimme die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als $20$ Personen älter sind als 40 Jahre.

(3 + 3 + 2 + 4 Punkte)

Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60\,\%$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb.

Im Anschluss soll mit einer Umfrage unter $200$ zufällig ausgewählten Abonnenten untersucht werden, ob der Anteil der zufriedenen Abonnenten durch diese Maßnahme vergrößert wurde.

Von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten wird ausgegangen, wenn von den $200$ Abonnenten mindestens $132$ zufrieden sind.

Die Zufallsgröße $Y:$ „Anzahl der nach dem Probebetrieb zufriedenen Abonnenten unter den Befragten" wird durch eine Binomialverteilung mit den Parametern $n=200$ und $p$ modelliert.

(1)

Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Management von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten ausgeht, falls der Anteil der zufriedenen Abonnenten unverändert geblieben ist.

(2)

(i)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Management davon ausgeht, dass die Maßnahme nicht erfolgreich war, falls der Anteil zufriedener Abonnenten nach dem Probebetrieb auf $65\,\%$ gestiegen ist.

(ii)

Die folgende Abbildung zeigt zwei Histogramme von binomialverteilten Zufallsgrößen $Y_1$ bzw. $Y_2$ mit $n=200$ und $p_1=0,60$ bzw. $p_2=0,65.$

Histogramm einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Achsenbeschriftungen und Werten.

Histogramm mit Wahrscheinlichkeitsverteilung, n=200, p2=0,65, Werte zwischen 90 und 155 auf der x-Achse.

Veranschauliche die Wahrscheinlichkeiten aus b) (1) und b) (2) (i) in der Abbildung.

(iii)

Ein Mitarbeiter des Managements ist der Meinung, dass die Wahrscheinlichkeit für die in 2 (i) beschriebene Fehlentscheidung zu hoch ist. Er schlägt vor, die Maßnahme bereits bei mindestens 125 mit dem Angebot zufriedenen Abonnenten als erfolgreich einzustufen.

Beurteile diesen Vorschlag.

(2 + 6 Punkte)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

(1)

$A:$

„Ein Abonnent ist höchstens 40 Jahre alt.“

$B:$

„Ein Abonnent hat das Komplettpaket.“

(2)

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=&\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,5} \\[5pt] &=&\dfrac{0,56}{0,71} \\[5pt] &\approx&0,79 \\[5pt] &=&79\,\% \end{array}$

(3)

Die Zufallsvariable $X,$ die die Anzahl der höchstens 40-jährigen Abonnenten angibt, ist binomialverteilt mit $p=0,7$ und $n=100.$ Somit folgt:

$P_{100;0,7}(X=70)\approx0,087=8,7\,\%$

(4)

Die Zufallsvariable $Z$ gibt die Anzahl der Abonnenten an, die älter als 40 Jahre sind und ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,3.$ Es ist nun der minimale Wert von $n$ gesucht, sodass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$P_{n;0,3}(Z\gt20) \geq 99\,\%$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P_{103;0,3}(Z\gt20)&=&1-P_{103;0,3}(Z\leq20) \\[5pt] &\approx&0,9896 \\[5pt] &=&98,96\,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_{104;0,3}(Z\gt20)&=&1-P_{104;0,3}(Z\leq20) \\[5pt] &\approx&0,991 \\[5pt] &=&99,1\,\% \end{array}$

Es müssen somit mindestens $104$ Abonnenten zufällig ausgewählt werden, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als 20 Personen älter als 40 Jahre sind.

(1)

Mit der Zufallsgröße $Y$ und $p=0,6$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$P_{200;0,6}(Y\geq132) \approx 4,75\,\%$

(2)

(i)

Mit der Zufallsgröße $Y$ und $p=0,65$ folgt:

$P_{200;0,65}(Y\leq131)\approx0,5852=58,52\,\%$

(ii)

Histogramm mit Wahrscheinlichkeitsverteilung, n=200 und p1=0,6, zeigt Werte von k zwischen 90 und 155.

Histogramm mit Wahrscheinlichkeitsverteilung, n=200, p2=0,65, grüne und graue Balken.

(iii)

Anhand der Diagramme wird deutlich, dass in diesem Fall zwar der in (2) (i) beschriebene Fehler kleiner wird, allerdings gleichzeitig der in b) (1) beschriebene Fehler deutlich größer wird.
Der Fehler aus b) (1), das heißt fälschlicherweise von einer erfolgreichen Maßnahme auszugehen, obwohl sich in Wirklichkeit nichts an dem Anteil der zufriedenen Abonnenten geändert hat, ist hierbei deutlich gravierender für das Unternehmen. Somit ist der beschriebene Vorschlag im Gesamtbild keine gute Idee, da die höchste Priorität ist, den Fehler aus b) (1) so kleine wie möglich zu halten.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?