Teil A: Ohne Hilfsmittel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}-x,$ $x\in \mathbb{R}.$

(1)

Zeige : $\(f$

(2)

Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=-1$ .

(2 + 4 Punkte)

Die Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=\mathrm e^x- \mathrm e,$ $x\in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ und die Koordinatenachsen begrenzen im 4. Quadranten eine Fläche
(vgl. Abbildung 1).

(1)

Der Graph von $f$ hat genau eine Nullstelle. Zeige, dass $x=1$ die Nullstelle des Graphen von $f$ ist.

(2)

Berechne den Inhalt der vom Graphen von $f$ und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche.

Abbildung 1

(2 + 4 Punkte)

Die Punkte $A(0 \mid 0 \mid 0),$ $B(3 \mid 4 \mid 0),$ $C,$ $D(-8 \mid 6 \mid 0),$ $E(0\mid 0 \mid 10),$ $F,$ $G$ und $H$ bilden einen Quader (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

(1)

Ermittle die Koordinaten des Punktes $G.$

(2)

Weise rechnerisch nach, dass die Kanten $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$ senkrecht zueinander verlaufen.

(3)

Ermittle das Volumen $V$ des Quaders.

(2 + 2 + 2 Punkte)

Bei einem Stadtfest gibt es ein Glücksrad, welches in zehn gleich große Sektoren unterteilt ist (siehe Abbildung 3). Jede teilnehmende Person dreht das Glücksrad genau einmal.

Abbildung 3

(1)

Beschreibe in diesem Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Term berechnet werden kann:

$\left(\begin{array}{l} 7\\ 0 \end{array}\right)\cdot \ 0,1^{0}\cdot 0,9^{7}+\left(\begin{array}{l} 7\\ 1 \end{array}\right)\cdot \ 0,1^{1}\cdot 0,9^{6}.$

(2)

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnet werden kann:
"Von 20 teilnehmenden Personen erhalten genau vier Personen einen Gewinn."

Ein anderes Glücksrad ist in $n$ gleich große Sektoren aufgeteilt. Zwei Personen drehen dieses Glücksrad jeweils genau einmal. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Personen, die einen Gewinn erhalten.

Es gilt: $P(X=0)=\displaystyle \frac{4}{9}.$

(3)

Ermittle eine mögliche Gesamtzahl $n$ der Sektoren auf dem Glücksrad sowie die zugehörige Anzahl der Sektoren mit einem Gewinn.

(2 + 1 + 3 Punkte)

(1)

Die Ableitung der Funktion lautet: $\(f$ .

Setze $x=-1$ in die Ableitungsfunktion ein:

$\(f$

(2)

$f(-1)= (-1)^3 -(-1)=0$

Die allgemeine Gleichung einer Tangente lautet: $y_t=mx+b$ .
Einsetzen ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2\cdot (-1)+b &\quad \scriptsize \mid +2\; \\[5pt] 2&=&b \end{array}$

Die Gleichung der Tangente mit $m=2$ und $b=2$ lautet folglich:

$y_t=2x+2$

(1)

$f(1)=e^1-e=e-e=0$

(2)

$\displaystyle\int_{0}^{1}(\mathrm e^x- \mathrm e)\;\mathrm dx =[\mathrm e^x- \mathrm ex]_0^1 =(\mathrm e^1-\mathrm e\cdot1 ) - (\mathrm e^0-\mathrm e\cdot0)=-1$

Die eingeschlossene Fläche ist 1 FE groß.

(1)

$\overrightarrow{OG}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CG}$ $=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ $= \pmatrix{3\\4\\0} +\pmatrix{-8\\6\\0} + \pmatrix{0\\0\\10}$ $= \pmatrix {-5\\10\\10}$

Die gesuchten Koordinaten von G sind folglich: $G(-5/10/10)$

(2)

Überprüfe ob das Skalarprodunkt Null ergibt.

$\overrightarrow{AB} =\pmatrix{3\\4\\0}$

$\overrightarrow{AD} = \pmatrix{-8\\6\\0}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}=0$

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Folglich sind die Kanten zueinander senkrecht.

(3)

$V=l \cdot b \cdot h$

$V=500$

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(1)

Von sieben teilnehmenden Personen erhält höchstens eine einen Gewinn.

(2)

$\pmatrix {20\\4} \cdot 0,1^4 \cdot 0,9^{16}$ ist der gesuchte Term.

(3)

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt, folglich gilt:

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Damit ist $p=\dfrac{1}{3}$ und $p=\dfrac{5}{3}$ . Somit hat das gesuchte Glücksrad z.B drei gleich große Sektoren, wovon ein Sektor ein Gewinnfeld darstellt.