Aufgabe 2

Die Zeitspanne vom Sonnenaufgang (Zeitpunkt, zu dem die Oberkante der Sonne den Horizont überschreitet) bis zum Sonnenuntergang (Zeitpunkt, zu dem die Oberkante der Sonne den Horizont unterschreitet) wird als Tageslänge bezeichnet. Sie hängt vom Ort ab und ändert sich im Verlauf des Jahres.

In der folgenden Abbildung sind die Tageslängen in der kleinen ostwestfälischen Stadt Rahden für jeden ersten Tag eines Monats im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum 1. Januar 2018 aufgetragen.
Vereinfachend wird hier angenommen, dass alle Monate die gleiche Länge von $30$ Tagen haben.
Dabei entspricht $t = 0$ dem 1. Januar 2017, $t = \frac{1}{30}\approx 0,03$ entspricht dem 2. Januar 2017, ..., $t = 1$ entspricht dem 1. Februar 2017, $t = 1+\frac{1}{30}\approx 1,03$ entspricht dem 2. Februar 2017 usw.

Grafik zeigt die Tageslängen in Stundern über die Monate des Jahres.

Abb. 1

Zur Modellierung der Tageslängen in Rahden im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 wird von einem Schüler für $0 \leq t \leq 5,67$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(t)= ...$

Vollständige Formel anzeigen

verwendet. Dabei wird $f(t)$ als Tageslänge in Stunden aufgefasst.

(1)

Ermittle mit der Funktion $f$ die Tageslänge in Rahden für den heutigen Tag (3. Mai, also $t \approx 4,07$ ) und vergleiche den von dir berechneten Wert mit der tatsächlichen heutigen Tageslänge in Rahden von $15$ Stunden und $10$ Minuten.

(4 BE)

(2)

Zeige, dass der Wert des Terms $\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}$ kleiner ist als der Wert des Terms $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2},$ und interpretiere diese Tatsachse im Sachzusammenhang.

(5 BE)

(3)

Vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 $(t \approx 5,67 )$ werden nördlich des Äquators (und damit auch in Rahden) die Tage immer länger.
Zeige rechnerisch, dass diese Tatsache durch die Funktion $f$ zutreffend modelliert wird.

(7 BE)

(4)

Für die zweite Ableitung $f‘‘$ der Funktion $f$ gilt die folgende Aussage:

$f‘‘(t) \lt 0$ für alle $t \in\mathbb{R}$ mit $t \gt 2,635.$

Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage für $2,635 \lt t \lt 5,67$ unter Berücksichtigung von a) (3) im Sachzusammenhang.
[Hinweis: Ein Nachweis der Aussage ist nicht erforderlich.]

(3 BE)

(5)

Begründe, dass die Funktion $f$ nicht zur Modellierung der Tageslängen für das gesamte Jahr 2017 geeignet ist.

(3 BE)

Der 21. Juni 2017 $( t \approx 5,67 )$ ist der längste Tag des Jahres 2017, der 21. Dezember 2017 $( t \approx 11,67 )$ ist der kürzeste Tag des Jahres 2017 in Rahden.
Eine Freundin des Schülers schlägt vor, zur Modellierung der Tageslängen vom 21. Juni 2017 bis zum 1. Januar 2018 für $5,67 \leq t \leq 12$ eine ganzrationale Funktion $h$ dritten Grades zu verwenden, deren Ableitung $h‘$ eine quadratische Funktion von folgender Form ist:

$g‘(t)= a \cdot ( t - 5,67) \cdot (t - 11,67) ,$ $t \in \mathbb{R},$

wobei $a$ eine noch zu ermittelnde reelle Zahl ist.

(1)

Skizziere in Abbildung 2 die vier zu $a=-0,5,$ $a= -0,25,$ $a= 0,25$ und $a= 0,5$ gehörenden Graphen von $g‘.$

Diagramm mit einem Koordinatensystem und einer Funktion, die über dem Gitter verläuft.

Abb. 2

(4 BE)

(2)

Begründe, dass es sinnvoll ist, von dem Ansatz $g‘(t) = a \cdot ( t - 5,67) \cdot (t - 11,67)$ auszugehen, wenn die Tageslängen ab dem 21. Juni 2017 durch eine ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades modelliert werden sollen.
Entscheide begründet, ob $a$ zur Modellierung des gegebenen Sachzusammenhangs positiv oder negativ sein muss.

(6 BE)

(3)

Die Freundin des Schülers hat herausgefunden, dass am 21. Dezember 2017 die Tageslänge in Rahden $7,73$ Stunden beträgt. Um den passenden Wert von $a$ zu bestimmen, verwendet sie die Gleichung

$f(5,67) +... = 7,73$

Gleichung anzeigen

Interpretiere diese Gleichung im Sachzusammenhang.
Bestimme den passenden Wert von $a.$

(8 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

(1)

$\blacktriangleright$ Tageslänge ermitteln

Mit dem GTR ergibt sich: $f(4,07)\approx 15,30.$

Dies entspricht $15$ Stunden und $18$ Minuten und weicht damit um $8$ Minuten von der tatsächlichen Tageslänge in Rahden ab.

Graph einer mathematischen Funktion auf einem Taschenrechner-Display mit Achsen und Werten.

Abb. 1: 2nd $\to$ trace(calc) $\to$ 1: value

(2)

$\blacktriangleright$ Wert des Terms angeben

Wie oben ergibt sich mit dem GTR:

$\frac{f(4)-f(2)}{2} \approx 2,1$

Vollständige Lösung anzeigen

und:

$\frac{f(2)-f(0)}{2} \approx 1,49$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Werte geben die durchschnittliche Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[0;2]$ bzw. $[2;4]$ an. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Tageslänge in Stunden vom 1. Januar bis zum 1. März im Schnitt um $1,49$ Stunden pro Monat zunimmt, im Zeitraum vom 1. März bis zum 1. Mai nimmt die Tageslänge sogar um $2,1$ Stunden pro Monat zu. In den ersten zwei Monaten des Jahres nimmt die Tageslänge im Schnitt also langsamer zu als in den darauffolgenden zwei Monaten.

(3)

$\blacktriangleright$ Zutreffende Modellierung zeigen

Du sollst zeigen, dass die Funktion $f$ im Bereich $[0; 5,67]$ streng monoton wachsend ist.
Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die erste Ableitung von $f$ in diesem Bereich positiv ist, also $f‘(t) \gt 0$ gilt.

Die erste Ableitungsfunktion lautet:

$f‘(t) = \approx$

Vollständige Lösung anzeigen

Es ergibt sich folgende Ungleichung:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(t)& \gt &0 \\[5pt] ... \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit der $pq$ -Formel lassen sich jetzt die Stellen berechnen, an denen Gleichheit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Wert innerhalb des Intervalls wäre beispielsweise $t=0,$ für diesen gilt:

$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 \lt 0$

Damit ist der Term $t^2-5,27\cdot t -2,268$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4;5,67[$ negativ. Aufgrund der vorherigen Umformungen ist damit auch $f‘(t)\gt 0$ für alle $t$ in dem Intervall $]-0,4; 5,67[.$
Die Funktion $f$ ist also auf diesem Intervall streng monoton steigend. Die Tageslänge wird also immer länger.

(4)

$\blacktriangleright$ Aussage im Sachzusammenhang interpretieren

Laut Aufgabe a) (3) gilt $f‘(t)\gt 0$ für $0\leq t \lt 5,67.$ Die Tage werden also immer länger.
Gilt nun noch $f‘‘(t) \lt 0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ mit $t\gt 2,635,$ so wird diese Zunahme der Tageslänge immer langsamer.
Da $t\approx 2,635$ in etwa für den 19. März steht, werden die Tage zwar ab dem 19. März immer noch länger, allerdings wird die Differenz der Tageslängen, also der Zuwachs, immer geringer.

(5)

$\blacktriangleright$ Modellierung für das gesamte Jahr überprüfen

Mit dem GTR lässt sich bestimmen, dass $f$ bei $x\approx 9,68$ eine Nullstelle besitzt. Anschließend verläuft der Graph von $f$ unterhalb der $x$ -Achse.

Es gäbe demnach Tage, an denen die Tageslänge $0$ Stunden betragen würde, bzw. sogar negativ wäre.

Grafik einer mathematischen Funktion auf einem Taschenrechner-Display.

Abb. 2: 2nd $\to$ trace(calc) $\to$ 2: zero

Dies ist nicht realistisch, selbst eine Tageslänge von $0$ Stunden ist nicht realistisch, da die Stadt Rahden in Nordrhein-Westfalen und damit in Deutschland liegt.
Spätestens aufgrund der negativen Werte kann $f$ also nicht zur Modellierung der Tageslänge für das gesamte Jahr 2017 geeignet sein.

(1)

$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren

Diagramm mit mehreren Kurven in verschiedenen Farben auf einem Koordinatensystem.

Abb. 3: Einzeichnen der Graphen

(2)

$\blacktriangleright$ Ansatz begründen

Angegeben ist, dass der 21. Juni 2017 der längste und der 21. Dezember 2017 der kürzeste Tag des Jahres ist.
Für $g$ muss also vorausgesetzt werden, dass ihr Graph an der Stelle $t\approx 5,67$ einen Hochpunkt und an der Stelle $t\approx 11,67$ einen Tiefpunkt besitzt. Für Extremstellen muss das notwendige Kriterium $g‘(t)=0$ erfüllt sein.
Aufgrund der faktoriellen Darstellung wird durch den gewählten Ansatz sichergestellt, dass $g‘$ an den Stellen $t= 5,67$ und $t=11,67$ Nullstellen besitzt, das obige Kriterium also erfüllt ist. Gleichzeitig sind dies die einzigen Nullstellen von $g‘,$ also die einzigen möglichen Extremstellen von $g,$ da eine ganzrationale Funktion zweiten Grades maximal zwei Nullstellen besitzen kann.

$\blacktriangleright$ Vorzeichen bestimmen

Der Tag mit der längsten Tageslänge ist der 21. Juni, an der Stelle $t\approx 5,67$ muss der Graph von $g$ also einen Hochpunkt besitzen. Dies bedeutet, dass er danach fallen muss bis er seinen Tiefpunkt am 21. Dezember 2017 bei $t\approx 11,67$ erreicht.
Im Intervall $[5,67;11,67]$ muss die Steigung von $g$ also negativ sein. Da $g‘$ die Steigung des Graphen von $g$ beschreibt, muss also $g‘(t)$ negativ sein für $5,67 \lt t \lt 11,67.$ Dies ist für positive Werte von $a$ der Fall. $a$ muss zur Modellierung des gegebenen Sachzusammenhangs also positiv sein.

(3)

$\blacktriangleright$ Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren

Die Gleichung kann in drei Bestandteile aufgeteilt werden:

$f(5,67)$ gibt die Tageslänge in Rahden am 21. Juni 2017 an.
$a\cdot \displaystyle\int_{5,67}^{11,67}...$

Formel anzeigen

$a\cdot \displaystyle\int_{5,67}^{11,67}\left(t-5,67 \right)\cdot \left(t-11,67\right)\;\mathrm dt$

gibt an, um wie viele Stunden die Tageslänge im Zeitraum vom 21. Juni 2017 bis zum 21. Dezember 2017 insgesamt zunimmt bzw. abnimmt.
$7,73$ ist die geforderte Tageslänge in Rahden am 21. Dezember 2017.

$\blacktriangleright$ Passenden Wert bestimmen

Mithilfe des GTRs ergibt sich:

$a\approx 0,25$

Vollständige Lösung anzeigen

Grafik eines Integrals mit einer blauen Fläche unter einer Parabel auf einem Taschenrechner-Display.

Abb. 4: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7

Der passende Wert von $a$ ist $a\approx 0,25.$

Bildnachweise [nach oben]

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(1)

$\blacktriangleright$ Tageslänge ermitteln

Mit dem GTR ergibt sich: $f(4,07)\approx 15,30.$

Dies entspricht $15$ Stunden und $18$ Minuten und weicht damit um $8$ Minuten von der tatsächlichen Tageslänge in Rahden ab.

Graph mit einer blauen Kurve und Koordinatenangaben in einem mathematischen Kontext.

Abb. 1: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F1: Y-CAL

(2)

$\blacktriangleright$ Wert des Terms angeben

Wie oben ergibt sich mit dem GTR:

$\frac{f(4)-f(2)}{2} \approx 2,1$

Vollständige Lösung anzeigen

und:

$\frac{f(2)-f(0)}{2} \approx 1,49$

Vollständige Lösung anzeigen

(3)

$\blacktriangleright$ Zutreffende Modellierung zeigen

Die erste Ableitungsfunktion lautet:

$f‘(t) = \approx$

Vollständige Lösung anzeigen

Es ergibt sich folgende Ungleichung:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(t)& \gt &0 \\[5pt] ... \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit der $pq$ -Formel lassen sich jetzt die Stellen berechnen, an denen Gleichheit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -0,4 \\[5pt] t_2&=& 5,67 \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Wert innerhalb des Intervalls wäre beispielsweise $t=0,$ für diesen gilt:

$0^2-5,27\cdot 0 -2,268 \lt 0$

(4)

$\blacktriangleright$ Aussage im Sachzusammenhang interpretieren

(5)

$\blacktriangleright$ Modellierung für das gesamte Jahr überprüfen

Mit dem GTR lässt sich bestimmen, dass $f$ bei $x\approx 9,68$ eine Nullstelle besitzt. Anschließend verläuft der Graph von $f$ unterhalb der $x$ -Achse.

Es gäbe demnach Tage, an denen die Tageslänge $0$ Stunden betragen würde, bzw. sogar negativ wäre.

Graph einer Funktion mit einer Nullstelle, Koordinaten angezeigt.

Abb. 2: F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT

(1)

$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren

Abb. 3: Einzeichnen der Graphen

(2)

$\blacktriangleright$ Ansatz begründen

$\blacktriangleright$ Vorzeichen bestimmen

(3)

$\blacktriangleright$ Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren

Die Gleichung kann in drei Bestandteile aufgeteilt werden:

$f(5,67)$ gibt die Tageslänge in Rahden am 21. Juni 2017 an.
$a\cdot \displaystyle\int_{5,67}^{11,67}...$

Formel anzeigen

$a\cdot \displaystyle\int_{5,67}^{11,67}\left(t-5,67 \right)\cdot \left(t-11,67\right)\;\mathrm dt$

gibt an, um wie viele Stunden die Tageslänge im Zeitraum vom 21. Juni 2017 bis zum 21. Dezember 2017 insgesamt zunimmt bzw. abnimmt.
$7,73$ ist die geforderte Tageslänge in Rahden am 21. Dezember 2017.

$\blacktriangleright$ Passenden Wert bestimmen

Mithilfe des GTRs ergibt sich:

$a\approx 0,25$

Vollständige Lösung anzeigen

Grafik einer Parabel mit Beschriftungen für obere und untere Grenzen sowie einer Integrationsformel.

Abb. 4: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F3 $\to$ F1

Der passende Wert von $a$ ist $a\approx 0,25.$

Bildnachweise [nach oben]

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