Aufgabe 4

Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben:

Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit 0,6 angenommen, in den späteren Lebensjahren mit 0,8. Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit 0,5 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen.

Die Vögel werden in drei Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen

$x_1:$ Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
$x_2:$ Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
$x_3:$ Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)

durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung¹ $\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ zusammengefasst werden. Die Matrix $L=\begin{pmatrix}0&0&0,5\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$ beschreibt dieses Modell.

¹ Verteilungsvektoren werden der Einfachheit halber im Folgenden kurz „Verteilung“ genannt.

a) Die aktuelle Zählung ergibt $x_1=2.000$ , $x_2=4.000$ , $x_3=15.000$ .

Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach zwei Jahren.

Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe.

Fünf Elemente der Matrix L haben den Wert Null.
Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert Null hat.

(5P + 5P + 5P)

Untersuchen Sie, ob es eine von $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt, d.h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.

Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix L beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz p verkleinern. Nach 20 Jahren wird sie noch aus insgesamt 17.870 Vögeln, nach weiteren 10 Jahren aus 15.422 Vögeln bestehen.
Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz p.

Langfristig gilt: $p\approx1,462\,\%$ .
Ermitteln Sie näherungsweise, in wie viel Jahren sich unter dieser Voraussetzung die Population jeweils halbiert.

Durch Schutzmaßnahmen wird - bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen - der Bruterfolg auf die Quote von $\frac{5}{9}$ Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr erhöht.

Zeigen Sie, dass die Verteilung $n\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}$ für jede positive ganze Zahl $n$ eine stationäre Verteilung ist.

Berechnen Sie für eine konkrete stationäre Verteilung aus $4)$ die prozentualen Anteile jeder der 3 Altergruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigen Sie, dass sich für jede stationäre Verteilung aus $4)$ unabhängig von $n$ dieselben Anteile ergeben.

(6P + 5P + 5P + 4P + 6P)

c) Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den folgenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.

Diagramm mit zwei Kreisen und Pfeilen, die Wahrscheinlichkeiten zeigen.

Geben sie dazu eine Übergangsmatrix M an.

Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft.

(4P + 5P)

a) (1) $\blacktriangleright$ Verteilung der Vögel nach einem und zwei Jahren berechnen

Deine Aufgabe ist es hier, die Verteilung der Vögel nach einem und nach zwei Jahren zu berechnen, wobei dir die aktuelle Verteilung gegeben ist mit:

$\overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix}$

Die Übergangsmatrix ist dir ebenfalls gegeben mit $L = \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$

Hierbei bietet sich die folgende Formel an, um die Verteilung zum Zeitpunkt $t$ zu berechnen:

$\overrightarrow{x}_t = L \cdot \overrightarrow{x}_{t-1}$

Dort kannst du nun $L$ , $\overrightarrow{x}$ für $\overrightarrow{x}_0$ und $t = 1$ bzw $t = 2$ einsetzen und erhältst so die Verteilung der Vögel nach ein bzw. zwei Jahren.

Dabei kannst du deinen GTR zu Hilfe nehmen oder auch handschriftlich rechnen.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

Hierbei kannst du zunächst die Verteilung nach einem Jahr berechnen und diese zur Berechnung der Verteilung im zweiten Jahr wieder verwenden:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{x}_1&=&L\cdot \overrightarrow{x}_0&\scriptsize{ einsetzen }\\ &=&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix}&\scriptsize{Matrix-Vektor-Multiplikation }\\ &=&\begin{pmatrix}0 \cdot 2.000 + 0 \cdot 4.000 + 0,5 \cdot 15.000 \\ 0,6 \cdot 2.000 + 0 \cdot 4.000 + 0 \cdot 15.000\\ 0 \cdot 2.000 +0,6 \cdot 4.000 +0,8 \cdot 15.000\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix} \\ \end{array}$

Nach einem Jahr sind $7.500$ Jungvögel, $1.200$ Vögel im 2. Lebensjahr und $14.400$ Altvögel vorhanden.

Nun kennst du $\overrightarrow{x}_1$ und kannst damit $\overrightarrow{x}_2$ berechnen:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{x}_2&=&L \cdot \overrightarrow{x}_1&\scriptsize{ einsetzen} \\ &=&\begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix}&\scriptsize{Matrix-Vektor-Multiplikation}\\ &=&\begin{pmatrix}0\cdot 7.500 + 0 \cdot 1.200 + 0,5\cdot14.400\\ 0,6\cdot7.500 +0\cdot 1.200 + 0\cdot 14.400\\ 0 \cdot 7.500 + 0,6 \cdot 1.200 + 0,8 \cdot 14.400\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}7.200\\4.500\\12.240\end{pmatrix}\\ \end{array}$

Nach zwei Jahren sind $7.200$ Jungvögel, $4.500$ Vögel im zweiten Lebensjahr und $12.240$ Altvögel vorhanden.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR

Mit dem GTR kannst du hier am besten arbeiten, indem du zunächst die Übergangsmatrix $L$ unter der Bezeichnung $A$ speicherst. Dies kannst du im Rechenmenü tun. Wähle dazu unter

2ND (MATRIX) EDIT

die Bezeichnung $A$ aus. Anschließend musst du zunächst die Dimension der Matrix (3 x 3) und anschließend die Matrixeinträge eingeben. Verlasse das Matrixmenü anschließend wieder. Das gleiche kannst du mit dem Verteilungsvektor $\overrightarrow{x}_0$ tun und ihn unter $B$ abspeichern. Dieser hat die Dimension 3 x 1.

Matrixdarstellung mit Werten in einer 3x3-Anordnung.

Matrix mit Werten 2000, 4000 und 15000 in einem grafischen Format.

Dann kannst du anschließend $\overrightarrow{x}_1$ berechnen, indem du die Matrix bzw. den Vektor wieder aufrufst. Den Befehl um eine Matrix abzurufen findest du unter:

2ND (MATRIX) NAMES

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{x_1}&=& L \cdot \overrightarrow{x_0}&\scriptsize{ \text{GTR}} \\ &=&\begin{pmatrix}7.500\\1.200\\14.400\end{pmatrix} \\ \end{array}$

Grafische Darstellung mit Zahlen und Symbolen in einem einfachen Layout.

Nach einem Jahr sind $7.500$ Jungvögel, $1.200$ Vögel im 2. Lebensjahr und $14.400$ Altvögel vorhanden.

Genauso kannst du nun auch die Verteilung nach zwei Jahren berechnen, indem du den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x_1}$ als C speicherst:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{x}_2&=&L \cdot \overrightarrow{x}_1&\scriptsize{ \text{GTR}} \\ &=&\begin{pmatrix}7.200 \\ 4.500 \\ 12.240\end{pmatrix} \\ \end{array}$

Matrix-Darstellung mit Zahlenwerten 7500, 1200 und 14400 in einer 3x1-Anordnung.

Bild mit Zahlen und Symbolen in einer einfachen, digitalen Darstellung.

Nach zwei Jahren sind $7.200$ Jungvögel, $4.500$ Vögel im zweiten Lebensjahr und $12.240$ Altvögel vorhanden.

(2) $\blacktriangleright$ Verteilung für das Vorjahr berechnen

Nun sollst du die Verteilung für das Vorjahr berechnen. Also die Anzahl der verschiedenen Altersgruppen der Vögel zum Zeitpunkt $t = -1$ . Hier kannst du wieder die Formel von oben anwenden, und zwar kennst du in diesem Fall den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x_0}$ und die Übergangsmatrix $L$ und du suchst den Verteilungsvektor

$\overrightarrow{x}_{-1} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ ,

das heißt die Verteilung, sodass daraus ein Jahr später die Verteilung $\overrightarrow{x}_0$ entsteht.

Insgesamt suchst du also den Verteilungsvektor $\overrightarrow{x}_{-1}$ , der die folgende Gleichung erfüllt:

$\overrightarrow{x}_0 = L \cdot \overrightarrow{x}_{-1}$

Setzt du dort die Informationen ein, so kannst du aus dieser Gleichung ein

lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ gewinnen, welches du anschließend entweder mit dem GTR oder per Hand lösen kannst.

1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen

Setzt du $L$ und $\overrightarrow{x}_0$ in die Gleichung ein, so erhältst du folgende Gleichung:

$\begin{pmatrix}2.000\\4.000\\15.000\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$

Dort kannst du nun jede „Zeile“ einzeln ablesen. Dann erhältst du das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&2.000&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0,5 \cdot x_3\\ (2)&4.000&=&0,6 \cdot x_1 &+&0 \cdot x_2&+&0 \cdot x_3&\\ (3)&15.000&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+&0,8\cdot x_3&\\ \end{array}$

2. Schritt: Gleichungssystem lösen

Hier hast du auch wieder zwei Möglichkeiten, entweder du löst das LGS mit Hilfe des GTR oder handschriftlich.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

Du kannst schnell erkennen, dass die erste und zweite Gleichung des LGS jeweils von nur einer Variablen abhängen. Außerdem weißt du, dass du aus einer Gleichung mit einer Variablen die Lösung für die Variablen direkt bestimmen kannst.

Du kannst hier also wie folgt vorgehen:

Löse (1) nach $x_3$ und bestimme so die Lösung für $x_3$
Löse (2) nach $x_1$ und bestimme so die Lösung für $x_1$
Setze die Lösungen aus den ersten beiden Schritten in (3) ein und bestimme die Lösung für $x_2$ durch Umformen von (3)

Beginnst du mit der ersten Gleichung, so erhältst du:

$\begin{array}{rll} 2.000&=&0,5\cdot x_3&\scriptsize{ \mid\; : 0,5}\\ 4.000&=&x_3 \\ \end{array}$

Aus der zweiten Gleichung erhältst du:

$\begin{array}{rll} 4.000&=&0,6\cdot x_1&\scriptsize{ \mid\; : 0,6 }\\ \frac{20.000}{3}&=&x_1&\scriptsize{ runden }\\ x_1 &\approx&6.667\\ \end{array}$

Setzt du dies nun in (3) ein, so kannst du nach $x_2$ auflösen:

$\begin{array}{rll} 15.000&=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot x_3&\scriptsize{ einsetzen }\\ 15.000&=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot 4.000 \\ 15.000&=&0,6\cdot x_2 + 3.200&\scriptsize{ \mid\; -3.200} \\ 11.800&=&0,6\cdot x_2&\scriptsize{ \mid\; : 0,6}\\ \frac{59.000}{3}&=&x_2&\scriptsize{ runden} \\ x_2&\approx&19.667 \\ \end{array}$

Aus dem Modell ergäbe sich die folgende Verteilung für das Vorjahr:

Es waren ca. 6.667 Jungvögel, 19.667 Vögel im 2. Lebensjahr und 4.000 Altvögel vorhanden.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR

Mit dem GTR kannst du das LGS lösen, indem du die Koeffizienten als Einträge einer Matrix auffasst. Es ergibt sich die folgende Matrix:

$D = \begin{pmatrix}0&0&0,5&2.000\\0,6&0&0&4.000\\0&0,6&0,8&15.000\end{pmatrix}$

Diese kannst du wie zuvor zunächst eingeben und abspeichern. Verlasse das Matrixmenü anschließend wieder.

Dann kannst du die Matrix $D$ mit dem rref-Befehl so umformen, dass sie dir die Lösungen anzeigt. Den Befehl findest du unter

2ND (MATRIX) MATH B: rref(

Rufe dazu die Matrix $D$ in der Klammer hinter dem Befehl wieder so auf wie zuvor.

Bestätigst du anschließend mit ENTER, so erhältst du die folgende Matrix als Ergebnis:

$\begin{pmatrix}1&0&0&6.666,667\\0&1&0&19.666,667\\0&0&1&4.000\end{pmatrix}$

Abbildung eines Datenarrays mit numerischen Werten in einer Matrixdarstellung.

Daraus kannst du das Ergebnis ablesen und erhältst:

$x_1\approx 6.667$ , $x_2 \approx 19.667$ , $x_3=4.000$

Aus dem Modell ergäbe sich die folgende Verteilung für das Vorjahr:

Es waren ca. 6.667 Jungvögel, 19.667 Vögel im 2. Lebensjahr und 4.000 Altvögel vorhanden.

(3) $\blacktriangleright$ Nullwerte der Matrix erklären

In diesem Aufgabenteil, sollst du für jedes Element der Matrix $L$ , das den Wert Null hat, erklären, warum es eben diesen Wert hat. Am besten kannst du dabei schrittweise für jedes Element einzeln vorgehen.

Die folgenden Elemente der Matrix $L$ haben den Wert Null:

$l_{1,1}$
$l_{1,2}$
$l_{2,2}$
$l_{2,3}$
$l_{3,1}$

Das Element $l_{a,b}$ gibt dabei den Anteil der Vögel an, die im nächsten Jahr von Altersgruppe $b$ in Altersgruppe $a$ übergehen. Bei den Altvögeln bedeutet $l_{3,1} = 0,5$ beispielsweise, dass jeder Altvogel im Schnitt pro Jahr $0,5$ Nachkommen hat.

Erklärung für $\boldsymbol{l_{1,1}}$

Das erste Element $l_{1,1}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die nach einem Jahr vom Stadium $1$ immer noch im Stadium $1$ bleiben. Da $1$ aber das Stadium der Vögel im ersten Lebensjahr bezeichnet, ist dieser Wert Null, weil ein Vogel nicht zwei Jahre hintereinander im 1. Lebensjahr sein kann.

Erklärung für $\boldsymbol{l_{1,2}}$

$l_{1,2}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die von der Altersgruppe $2$ in die Altersgruppe $1$ übergehen. Für einen solchen Übergang müsste folgendes passieren:

Ein Vogel, der im zweiten Lebensjahr ist, ist ein Jahr später wieder im ersten Lebensjahr oder
Ein Vogel im zweiten Lebensjahr zeugt Nachkommen

Ersteres ist unmöglich und letzteres auch, da du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, dass die Seevögel zum ersten mal im dritten Lebensjahr brüten.

Erklärung für $\boldsymbol{l_{2,2}}$

$l_{2,2}$ hat aus ähnlichen Gründen den Wert Null, wie $l_{1,1}$ . Nach einem Jahr ist jeder Vogel entweder ein Jahr älter oder gestorben. Ist er vorher in Altersgruppe $2$ , also im zweiten Lebensjahr, so kann er im nächsten Jahr nicht noch einmal in Altergruppe $2$ sein. Daher hat $l_{2,2}$ den Wert Null.

Erklärung für $\boldsymbol{l_{2,3}}$

Hierbei verläuft die Erklärung analog zu $l_{1,2}$ . $l_{2,3}$ beschreibt den Anteil der Vögel, die von Altersgruppe $3$ nach einem Jahr zurück in Altersgruppe $2$ übergeht. Dies würde aber bedeuten, dass ein Vogel vom dritten Lebensjahr, ein Jahr später im 2. Lebensjahr wäre. Dies ist unmöglich. Nachkommen, die nach einem Jahr bereits das zweite Lebensjahr erreicht haben, kann ein Altvogel auch nicht produzieren. Daher hat $l_{2,3}$ den Wert Null.

Erklärung für $\boldsymbol{l_{3,1}}$

$l_{3,1}$ beschreibt den Anteil der Vögel aus Altersgruppe $1$ , die nach einem Jahr Altersgruppe $3$ angehören. Da dies aber bedeuten würde, dass ein Vogel das zweite Lebensjahr überspringen würde, ist dies unmöglich. Daher ist $l_{3,1} = 0$ .

b) (1) $\blacktriangleright$ Auf stationäre Verteilungen untersuchen

Hier ist es deine Aufgabe, zu untersuchen, ob es eine von $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt. Eine stationäre Verteilung ist eine Verteilung $\overrightarrow{x}_s$ , sodass $\overrightarrow{x}_s = \overrightarrow{x}_{s+1} = \overrightarrow{x}_{s+2}$ usw. gilt. Das bedeutet, $\overrightarrow{x}_s$ muss die folgende Gleichung erfüllen:

$\overrightarrow{x}_s= L \cdot \overrightarrow{x}_s$

Aus dieser Gleichung ergibt sich mit $\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ wieder ein lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ . Dieses kannst du dann wieder mit dem GTR oder auch handschriftlich lösen.

1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen

Das lineare Gleichungssystem kannst du wieder wie in Aufgabenteil a) (2) aufstellen, indem du die Matrix und den Vektor miteinander multiplizierst und anschließend jede „Zeile“ einzeln abliest:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{x_s}&=&L \cdot \overrightarrow{x_s}&\scriptsize{ einsetzen}\\ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}0&0&0,5\\ 0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}&\scriptsize{Matrix-Vektor-Multiplikation} \\ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0\cdot x_1 +0\cdot x_2 + 0,5 \cdot x_3\\ 0,6\cdot x_1+ 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3\\0\cdot x_1 +0,6 \cdot x_2 +0,8\cdot x_3\end{pmatrix} \\ \end{array}$

Daraus ergibt sich dann das folgende LGS:

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x_1&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3\\ (2)&x_2&=&0,6\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0\cdot x_3\\ (3)&x_3&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& 0,8\cdot x_3\\ \end{array}$

2. Schritt: Gleichungssystem lösen

Das LGS kannst du nun handschriftlich oder mit dem GTR lösen.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

Hier kannst du mit dem Einsetzungsverfahren arbeiten. Wie du siehst, hast du $x_1$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt und $x_2$ in Abhängigkeit von $x_1$ . Setzt du nun $x_1 = 0,5\cdot x_3$ in (2) ein, so erhältst du $x_2$ ebenfalls in Abhängigkeit von $x_3$ . Dann kannst du diese Darstellungsweisen von $x_1$ und $x_2$ in (3) einsetzen, die dann nur noch von $x_3$ abhängt. So kannst du eine Lösung für $x_3$ bestimmen und anschließend die Lösungen für $x_2$ und $x_1$ .

$\begin{array}{rll} (2)\; x_2&=&0,6\cdot x_1&\scriptsize{ x_1 = 0,5\cdot x_3} \\ x_2&=&0,6\cdot 0,5\cdot x_3 \\ (2a)\; x_2&=&0,3\cdot x_3 \\ \end{array}$

Setzt du nun $x_1 = 0,5\cdot x_3$ und $x_2 = 0,3\cdot x_3$ in (3) ein, so erhältst du:

$\begin{array}{rll} x_3&=&0,6\cdot x_2 + 0,8 \cdot x_3 \\ x_3&=&0,6\cdot 0,3\cdot x_3 + 0,8 \cdot x_3 \\ x_3&=&0,98\cdot x_3 \\ x_3&=&0\\ \end{array}$

Mit $x_3 = 0$ ergibt sich für $x_1$ und $x_2$ :

$x_1 = 0,5\cdot x_3 = 0,5\cdot 0 = 0$ $x_2 = 0,3\cdot x_3 = 0,3\cdot 0 = 0$

Damit wäre also $\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ , was der Voraussetzung widerspricht.

Es existiert keine stationäre Verteilung außer $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ .

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR

Um das LGS wie zuvor mit dem GTR zu lösen, musst du zunächst alle $x$ auf eine Seite bringen. Dann wird aus

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x_1&=&0\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne: }- x_1 \\ (2)&x_2&=&0,6\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+&0\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne: }- x_2\\ (3)&x_3&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& 0,8\cdot x_3&\mid\; \text{Rechne:}- x_3\\ \end{array}$

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1a)&0&=&(-1)\cdot x_1&+&0\cdot x_2&+& 0,5\cdot x_3\\ (2a)&0&=&0,6\cdot x_1&+&(-1)\cdot x_2&+&0\cdot x_3\\ (3a)&0&=&0\cdot x_1&+&0,6\cdot x_2&+& (-0,2)\cdot x_3\\ \end{array}$

Fasst du nun die Koeffizienten wieder als Einträge einer Matrix auf und wendest auf diese Matrix den rref-Befehl (diesen kennst du bereits aus Aufgabenteil a) ) des GTR an, so erhältst du:

$\overrightarrow{x}_s = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Visualisierung einer Matrix in reduzierter Zeilenstufenform mit Einsen und Nullen.

Damit existiert keine stationäre Verteilung außer $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ .

(2) $\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen

Nun sollst du den Prozentsatz $p$ näherungsweise berechnen, um den sich die Gesamtpopulation der Vögel jährlich verkleinert. Du hast dazu die Gesamtpopulation $g_t$ zu zwei Zeitpunkten $t =20$ und $t =30$ gegeben:

$g_{20} = 17.870$ $g_{30} = 15.422$

Wenn sich die Gesamtpopulation $g_t$ innerhalb eines Jahres um den Prozentsatz $p$ verkleinert, so bleibt ein Anteil von $1-p$ der Population erhalten. Also gilt aufgrund der Regeln der Prozentrechnung:

$g_{t+1} = (1-p)\cdot g_t$

Du kennst nun aber nicht zwei Werte, die nur ein Jahr auseinander liegen, sondern zwei Werte, die 10 Jahre auseinander liegen. Du suchst also eine Formel für $g_{t+10}$ in Abhängigkeit von $g_t$ . Aus der obigen Formel kannst du solch eine Formel herleiten und anschließend mit Hilfe der gegebenen Werte eine Gleichung in Abhängigkeit von $p$ aufstellen und so anschließend $p$ berechnen.

1. Schritt: Gleichung aufstellen

Du weißt, dass $g_{t+1} = p\cdot g_t$ gilt. Das gleiche kannst du auch für $g_{t+2}$ formulieren:

$g_{t+2} = (1-p) \cdot g_{t+1}$

Dort kannst du nun wieder die Formel für $g_{t+1}$ einsetzen und erhältst:

$g_{t+2} = (1-p) \cdot g_{t+1} = (1-p) \cdot (1-p) \cdot g_t = (1-p)^2 \cdot g_t$

Du kannst folgendes erkennen: Setzt du dies immer weiter fort, bis du $g_{t+10}$ erhältst so kommt jedes mal einmal der Faktor $1-p$ hinzu:

$g_{t+10} = (1-p)^{10} \cdot g_t$

2. Schritt: Gleichung aufstellen und lösen

Setzt du nun die beiden Werte in die Formel ein, so erhältst du die folgende Gleichung:

$\begin{array}{rll} g_{t+10}&=&(1-p)^{10} \cdot g_t \\ g_{30}&=&(1-p)^{10}\cdot g_{20} \\ 15.422&=&(1-p)^{10} \cdot 17.870 \\ \end{array}$

Diese Gleichung kannst du nun entweder handschriftlich oder auch mit Hilfe des GTR lösen.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

$\begin{array}{rll} 15.422 &=&(1-p)^{10} \cdot 17.870&\scriptsize{ \mid\; : 17.870 }\\ 0,86301&\approx&(1-p)^{10}&\scriptsize{ \mid\; \sqrt[10]{\quad}}\\ 0,98538&\approx&1-p&\scriptsize{ \mid\; -1}\\ -0,01462&\approx&-p&\scriptsize{ \mid\; \cdot (-1)}\\ 0,01462&\approx&p\\ 1,462\,\%&\approx&p\\ \end{array}$

Die Gesamtpopulation der Seevögel reduziert sich jährlich um einen Prozentsatz von $1,462\,\%$ .

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR

Mit dem GTR kannst du die Gleichung lösen, indem du diese in ein Nullstellenproblem umformst:

$\begin{array}{rll} 15.422&=&(1-p)^{10} \cdot 17.870&\scriptsize{ \mid\; - 15.422} \\ 0&=&(1-p)^{10} \cdot 17.870- 15.422 \\ \end{array}$

Den rechten Teil der Gleichung kannst du nun als Funktionsterm einer Funktion $g$ in Abhängigkeit von $p$ auffassen. Bestimmst du mit Hilfe des Graph-Menüs des GTR nun wie zuvor die Nullstellen der Funktion $g$ , so erhältst du die Lösung: $p \approx 0,01462$ .

Grafik eines Koordinatensystems mit Werten für X und Y, zeigt den Punkt Null.

Die Gesamtpopulation der Seevögel reduziert sich jährlich um einen Prozentsatz von $1,462\,\%$ .

(3) $\blacktriangleright$ Anzahl der Jahre ermitteln, in denen sich die Population halbiert

In dieser Aufgabe sollst du nun die Anzahl der Jahre ermitteln, nach denen sich die Population halbiert. Das heißt, du sollst $x$ finden, sodass die folgende Gleichung gilt:

$g_{t+x} = 0,5\cdot g_t$

Aus dem vorherigen Aufgabenteil weißt du, dass du $g_{t+x}$ auf folgende Weise berechnen kannst:

$g_{t+x} = (1-p)^x\cdot g_{t}$ }

Da du $p$ kennst, kannst du dies in die obere Gleichung einsetzen und erhältst so eine Gleichung in Abhängigkeit von $x$ . Diese kannst du dann nach $x$ lösen.

$\begin{array}{rll} g_{t+x}&=&0,5\cdot g_t \\ (1-p)^x\cdot g_{t}&=&0,5\cdot g_t&\scriptsize{ \mid\; p = 0,01462} \\ 0,98538^x\cdot g_t&=&0,5\cdot g_t&\scriptsize{ \mid\; :g_t}\\ 0,98538^x&=&0,5 \\ \end{array}$

Diese Gleichung kannst du nun ebenfalls wieder handschriftlich oder mit dem GTR lösen.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

Handschriftlich kannst du die Gleichung nun weiter nach $x$ umformen, indem du einen Logarithmus anwendest, beispielsweise den Logarithmus zur Basis $\mathrm e$ . Dann erhältst du:

$\begin{array}{rll} 0,98538^x &=&0,5&\scriptsize{ \mid\; \ln} \\ \ln(0,98538^x)&=&\ln(0,5)&\scriptsize{ \text{Anwendung der Logarithmengesetze}}\\ x\cdot\ln(0,98538)&= &\ln(0,5)&\scriptsize{ \mid\; : \ln(0,98538)}\\ x&=&\frac{\ln(0,5)}{\ln(0,98538)} \\ x\approx&=&47,06346 \\ \end{array}$

Nach etwa $47$ Jahren halbiert sich die Population jeweils.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR

Um die Gleichung mit Hilfe des GTR zu lösen, kannst du die Gleichung wieder in ein Nullstellenproblem umformen:

$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0,98538^x&0,5&\scriptsize{ \mid\; -0,5} \\ 0,98538^x -0,5&0 \\ \end{array}$

Nun kannst du wie zuvor die Nullstellen der Funktion $f$ mit $f(x) = 0,98538^x -0,5$ bestimmen und erhältst:

$x \approx 47,06346$

Grafik mit einer diagonalen Linie und Koordinaten, die den Punkt (47.063464, 0) darstellen.

Nach etwa $47$ Jahren halbiert sich die Population jeweils.

(4) $\blacktriangleright$ Zeigen, dass die angegebene Verteilung stationär ist

Du sollst zeigen, dass die Verteilung $\overrightarrow{x_n} = n \cdot \begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}$ für jede positive ganze Zahl $n$ eine stationäre Verteilung ist. Was eine stationäre Verteilung ist, weißt du bereits aus Aufgabenteil b) (1). Da sich nun aber der Bruterfolg der Seevögel durch Schutzmaßnahmen verbessert hat, musst du hier die Matrix zunächst anpassen. Wie du weißt, beschreibt der Eintrag $l_{1,3}$ die Anzahl der Nachkommen pro Jahr pro Altvogel. Dies ist also der Eintrag, den du ersetzen musst. Damit ergibt sich die „neue“ Matrix mit:

$L‘ = \begin{pmatrix}0&0&\color{yellowgreen}{\boldsymbol{\frac{5}{9}}}\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}$

Um nun zu zeigen, dass $\overrightarrow{x}_n$ eine stationäre Verteilung ist, kannst du die Gleichung aus Aufgabenteil b) (1) anwenden. Damit $\overrightarrow{x}_n$ eine stationäre Verteilung zu der neuen Übergangsmatrix ist, muss gelten:

$\overrightarrow{x}_n = L‘ \cdot \overrightarrow{x}_n$

Setzt du dort die Matrix und die Verteilung ein, so kannst du nachrechnen, ob diese Gleichung stimmt:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{x}_n&=&L‘ \cdot \overrightarrow{x}_n&\scriptsize{ \text{einsetzen}}\\ n \cdot \begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}0&0&\frac{5}{9}\\0,6&0&0\\0&0,6&0,8\end{pmatrix}\cdot n \cdot \begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}&\scriptsize{Matrix-Vektor-Multiplikation}\\ n\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}&=&n \cdot\begin{pmatrix}0\cdot5 +0\cdot 3 +\frac{5}{9} \cdot 9\\ 0,6\cdot 5 +0 \cdot 3 +0 \cdot 9\\ 0 \cdot 5 +0,6\cdot 3 +0,8 \cdot 9 \end{pmatrix} \\ n\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}&=&n\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}\\ \end{array}$

Diese Gleichung stimmt, und damit ist $\overrightarrow{x_n} = n\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}$ eine stationäre Verteilung für alle positiven ganzen Zahlen $n$ .

(5) $\blacktriangleright$ Prozentuale Anteile berechnen

Hier ist es deine Aufgabe, für eine der stationären Verteilung aus (4) die prozentualen Anteile der einzelnen Altersgruppen an der Gesamtpopulation zu berechnen. Das bedeutet, du sollst nun für ein $n$ deiner Wahl berechnen, wie viel Prozent der Vögel Jungvögel, Vögel im 2. Lebensjahr oder Altvögel sind.

Dabei kannst du so vorgehen:

Berechne für ein $n$ , z.B. $n =1$ , die Verteilung und die Gesamtpopulation
Berechne den Anteil jeder Altersgruppe an der Gesamtpopulation mit Hilfe der Regeln für die Prozentrechnung

Bei letzterem ergibt sich mit Hilfe der Formeln für Prozentrechnung für den prozentualen Anteil $p_v$ der Altersgruppe $v$ an der Gesamtpopulation $g$ :

$p_v = \frac{x_v}{g}$

Dabei ist $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ der Verteilungsvektor der stationären Verteilung, die du betrachtest.

1. Schritt: Verteilung und Gesamtpopulation berechnen

Wählst du zum Beispiel $n = 1$ , dann ergibt sich der folgende Verteilungsvektor:

$\overrightarrow{x} = 1 \cdot \begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}$

Damit ist: $x_1 = 5$ , $x_2 = 3$ und $x_3 = 9$ .

Die Gesamtpopulation ist dann also: $g = 5+3+9 = 17$ .

2. Schritt: Anteile der Altersgruppen berechnen

Nun kennst du alle Werte, die du benötigst und kannst diese nacheinander in die Formel einsetzen, um $p_1$ , $p_2$ und $p_3$ zu berechnen:

$\begin{array}{rll} p_1&=&\dfrac{x_1}{g}&\scriptsize{ \text{einsetzen}} \\ &=&\dfrac{5}{17} \\ &\approx&0,294\\ &=&29,4\,\% \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} p_2 &=&\dfrac{x_2}{g}&\scriptsize{ \text{einsetzen} }\\ &=&\dfrac{3}{17} \\ &\approx&0,176\\ &=&17,6\,\%\\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} p_3 &=&\dfrac{x_3}{g}&\scriptsize{ \text{einsetzen}} \\ &=&\dfrac{9}{17} \\ &\approx&0,529 \\ &=&52,9\,\% \\ \end{array}$

Für $n = 1$ und die stationäre Verteilung $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix}$ hat Altersgruppe 1 einen prozentualen Anteil an der Gesamtpopulation von ca. $29,4\,\%$ , Altersgruppe 2 hat einen Anteil von ca. $17,6\, \%$ und Altersgruppe 3 einen Anteil von ca. $52,9\,\%$ an der Gesamtpopulation.

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass sich für beliebiges $\boldsymbol{n}$ die gleichen Anteile ergeben

Im vorherigen Aufgabenteil hast du bereits die prozentualen Anteile der einzelnen Altersgruppen für eine konkrete stationäre Verteilung berechnet. Nun sollst du zeigen, dass diese Anteile für jedes $n$ gleich sind. Dazu kannst du genauso vorgehen wie eben, nur dass du nun nicht eine konkrete Verteilung wählst sondern die Verteilung abhängig von $n$ belässt und so in die Formel einsetzt. Anschließend kannst du sehen, ob die prozentualen Anteile noch von $n$ abhängen oder nicht. Ist das der Fall, so ist der Anteil nicht bei jeder stationären Verteilung gleich, ansonsten sind sie für jede Altersgruppe immer gleich. Berechne dazu wieder $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ und die Gesamtpopulation $g$ , diesmal aber in Abhängigkeit von $n$ .

1. Schritt: Verteilung und Gesamtpopulation berechnen

Für die Verteilung ergibt sich:

$\overrightarrow{x_n} = n\cdot\begin{pmatrix}5\\3\\9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n\cdot 5\\n\cdot3\\n\cdot9\end{pmatrix}$

Damit ist: $x_1 = n\cdot 5$ , $x_2 = n\cdot 3$ und $x_3 = n\cdot 9$ .

Für die Gesamtpopulation ergibt sich damit: $g = n\cdot5 + n\cdot 3 +n\cdot 9 = n\cdot 17$ .

2. Schritt: Anteile berechnen

Setze nun die Werte aus dem 1. Schritt wieder in die Formel ein, die du zuvor auch verwendet hast:

$\begin{array}{rll} p_1 &=&\dfrac{x_1}{g}&\scriptsize{ \text{einsetzen}} \\ &=&\dfrac{n\cdot 5}{n\cdot17}&\scriptsize{ \text{kürzen}} \\ &=&\dfrac{5}{17}\\ &\approx&29,4\,\% \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} p_2 &=&\dfrac{x_2}{g}&\scriptsize{ \text{einsetzen}}\\ &=&\dfrac{n\cdot 3}{n\cdot17}&\scriptsize{ \text{kürzen}} \\ &=&\dfrac{3}{17} \\ &\approx&17,6\,\%\,\% \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} p_3 &=&\dfrac{x_3}{g}&\scriptsize{ \text{einsetzen}} \\ &=&\dfrac{n\cdot 9}{n\cdot17}&\scriptsize{ \text{kürzen}} \\ &=&\dfrac{9}{17}\\ &\approx&52,9\,\%\,\% \\ \end{array}$

Die prozentualen Anteile der einzelnen Altersgruppen, sind nicht mehr abhängig von $n$ und daher für jede der angegebenen stationären Verteilungen gleich.

c) (1) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix angeben

Hier hast du nun den Übergangsgraphen gegeben, der die Entwicklung einer zweiten Seevogelart beschreibt und sollst ausgehend davon eine zugehörige Übergangsmatrix $M$ angeben.
Überlege dir zunächst, wie viele Zeilen und spalten die Matrix $M$ haben muss. Anschließend kannst du dich um die Einträge von $M$ kümmern.

Im Übergangsgraphen gibt es nur zwei Knoten, also kannst du davon ausgehen, dass es bei dieser Seevogelart nur zwei Altersgruppen gibt. Demnach muss die Übergangsmatrix jeweils zwei Zeilen und Spalten besitzen.

In Aufgabenteil a) (3) hast du gesehen, dass das Element $m_{i,j}$ die Übergangsquote von Altersgruppe $j$ in Altersgruppe $i$ beschreibt. In dem Übergangsgraphen findest du diese Quote als Bezeichnung an dem Pfeil vom Knoten $j$ zum Knoten $i$ .

Damit ergibt sich dann die folgende Übergangsmatrix:

$M = \begin{pmatrix}0&0,8\\0,5&0,6\end{pmatrix}$

(2) $\blacktriangleright$ Entwicklung der 2. Seevogelart im Vergleich zur 1. beschreiben

Die Beschreibung der Entwicklung der 1. Seevogelart ist dir bereits in der Einführung zur Aufgabe gegeben. Überlege dir hier nun zunächst mit Hilfe des Übergangsgraphen, wie die Entwicklung der 2. Seevogelart abläuft und ziehe anschließend den Vergleich zur 1. Seevogelart.

1. Schritt: Entwicklung der zweiten Seevogelart beschreiben

Betrachte dazu zunächst den allgemeinen Aufbau des Graphen, also die Anzahl der Knoten, die Beschriftung der Knoten usw. Anschließend kannst du die Details betrachten, indem du dir über die Bedeutung der einzelnen Pfeile nacheinander Gedanken machst.

Am Graphen kannst du sehen, dass es bei der zweiten Seevogelart nur zwei Altersgruppen gibt. Da die Übergangsquoten sich wieder auf ein Jahr beziehen, bedeutet dies also, dass diese Seevogelart bereits nach einem Jahr ausgewachsen ist und die erste Brut bereits im zweiten Lebensjahr stattfinden kann.

Daran, dass der Pfeil von (1) nach (2) mit $0,5$ beschriftet ist, kannst du erkennen, dass die Übergangsquote, also sozusagen die Überlebensrate im 1. Lebensjahr, $0,5$ beträgt.

Analog dazu bedeutet der Pfeil von (2) zur (1) mit der Beschriftung $0,8$ , dass ein Vogel im Durchschnitt jedes Jahr $0,8$ Nachkommen bekommt.

Der Pfeil von (2) zu (2) mit der Beschriftung $0,6$ ist die Übergangsquote von Altersgruppe 2 nach Altersgruppe 2, also die Überlebensquote eines ausgewachsenen Vogels.

2. Schritt: Vergleich zwischen den beiden Arten

Vergleiche nun schrittweise die Entwicklungen der beiden Arten:

Dabei fällt dir folgendes auf:

Die 1. Seevogelart wird in drei Altersgruppen eingeteilt und ist erst nach zwei Jahren ausgewachsen und brutfähig, die 2. Seevogelart ist dagegen in nur zwei Altersgruppen eingeteilt worden und bereits nach dem ersten Lebensjahr ausgewachsen und brutfähig.
Bei den Jungvögeln der 1. Seevogelart beträgt die Überlebensquote $0,6$ , bei der 2. Art überleben weniger Jungtiere, hier beträgt die Überlebensquote $0,5$ .
Bei den Altvögeln, ist die Überlebensquote der 2. Seevogelart ebenfalls niedriger, diese beträgt $0,6$ und die der 1. Art $0,8$ .
Der Bruterfolg ist allerdings bei der 2. Art höher: Hier bekommt jeder Altvogel durchschnittlich $0,8$ Nachkommen pro Jahr, bei der 2. Art sind es $0,5$ bzw. nach der Einführung der Schutzmaßnahmen $\frac{5}{9}$ Nachkommen pro Vogel und pro Jahr.