Analysis 2
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
. Für die erste Ableitungsfunktion von gilt 
.
a)
Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von mit den Koordinatenachsen an.
Begründe, dass der Graph von einen Hochpunkt hat, und gib die Koordinaten dieses Hochpunkts an.
(3 Punkte)
b)
Beschreibe den Verlauf des Graphen von für 
und gib den Grenzwert von für an.
(2 Punkte)
c)
Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktion und der zugehörigen Ableitungsfunktion 
.
Entscheide, welcher der Graphen I und II die Ableitungsfunktion darstellt.
Begründe deine Entscheidung.
(2 Punkte)
d)
Weise nach, dass der Schnittpunkt der Graphen von und bei 
liegt.
(2 Punkte)
e)
Ermittle den Winkel, unter dem sich die Graphen von und schneiden.
(5 Punkte)
f)
Die Tangente an den Graphen von im Punkt 
schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Berechne den Umfang dieses Dreiecks und gib die Koordinaten des Punkts an, der von allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.
(5 Punkte)
g)
Der Koordinatenursprung und ein auf dem Graphen von liegender Punkt 
mit 
sind gegenüberliegende Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Für genau einen Wert 
hat das Rechteck eine maximale Fläche. Ermittle für diesen Fall die Koordinaten des Punkts 
.
(4 Punkte)
Ein Tauchroboter bewegt sich in vertikaler Richtung. Diese Bewegung lässt sich für 
modellhaft mithilfe der in definierten Funktion
beschreiben. Dabei ist 
die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und 
der Abstand des Roboters von der Wasseroberfläche in Metern. Die Abbildung stellt die Bewegung des Roboters dar.
h)
Weise nach, dass der Roboter zum Zeitpunkt 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn den größten Abstand zur Wasseroberfläche hat und dass dieser Abstand 900 Meter beträgt.
(3 Punkte)
i)
Berechne, wie viele Meter der Roboter innerhalb der ersten 15 Minuten nach Beobachtungsbeginn zurücklegt.
(3 Punkte)
j)
Beschreibe die Bedeutung der Wendestelle des Graphen von 
im Hinblick auf die Bewegung des Roboters.
(2 Punkte)
k)
Betrachtet wird die Phase, in der der Roboter seinen Abstand zur Wasseroberfläche vergrößert. Berechne den Zeitraum innerhalb dieser Phase, in dem die Geschwindigkeit des Roboters mindestens 29,7 Meter pro Minute ist.
(4 Punkte)
(35 Punkte)
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a)
Schnittpunkt mit der 
-Achse bestimmen
Es muss gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& 0 \\[5pt]
(x+2) \cdot \mathrm e^{-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid :\mathrm e^{-x} \\[5pt]
x+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid -2\\[5pt]
x&=& -2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4c546e4e8d55c14453d68002629a03c71759506894194e182f12b9476c79d7e9?color=5a5a5a)
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von mit der -Achse sind somit gegeben durch 
Schnittpunkt mit der 
-Achse bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(0)&=&(0+2)+\mathrm e^{0} \\[5pt]
&=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fc04c8a6722986fe78be3d8d7751990d168e2b40aab6980080ff14c83b0014ff?color=5a5a5a)
Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der -Achse ergeben sich mit 
Koordinaten des Hochpunkts bestimmen
Es gilt: 
Anwendung der Produkt- und Kettenregel:
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/dd57e988cdaba5ea0fd259363549bb5cef03194a99ca8bd3ce6a564d21f81a8d?color=5a5a5a)
2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/6f7a9444d1828463f984053dfad4f6255559b883afe274e0e80ff83d4162aa04?color=5a5a5a)
Somit ist gezeigt, dass sich an der Stelle 
ein Hochpunkt befindet.
3. Schritt: -Koordinate bestimmen
Die Koordinaten des Hochpunktes ergeben sich somit mit 
b)
c)
Graph II stellt den Graphen der Ableitungsfunktion dar.
Der Graph II schneidet die -Achse im Punkt 
Der Extrempunkt des Graphen I hat die Koordinaten 
Es gilt 
somit stellt Graph II die Ableitungsfunktion dar.
d)
e)
Hilfsskizze
f)
Steigung der Tangente:
Wie in a) berechnet schneidet der Graph von die -Achse im Punkt 
Mit der Steigung 
der Tangente an den Punkt 
folgt, dass die Tangente die -Achse im Punkt 
schneidet.
Mit dem Satz des Pythagoras folgt der Umfang nun mit:
Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind folglich 
Hilfsskizze
g)
Für den Flächeninhalt des eingeschlossenen Rechtecks gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A(u) &=& u \cdot f(u) \\[5pt]
&=& u \cdot (u+2)\cdot \mathrm e^{-u} \\[5pt]
&=& (u^2+2u) \cdot \mathrm e^{-u}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9e46d3fefed227aa1c0bf4a6b721f6daceb53aa89f7a9e34964f6d709534834c?color=5a5a5a)
Zur Bestimmung des maximalen Flächeninhalts des Rechtecks kann mit dem GTR das Maximum des Graphen von 
ermittelt werden:
TI 84-PLUS
Casio fx-CG
Die Koordinaten des Maximums folgen mit 
2nd 
trace (calc) 4: maximum
F5 (G-Solv) F2: MAX
h)
Es muss überprüft werden, ob an der Stelle 
eine Maximalstelle vorliegt.
Mit dem GTR kann das Maximum des Graphen von bestimmt werden:
TI 84-PLUS
Casio fx-CG
Die Koordinaten des Hochpunkts ergeben sich mit 
2nd trace (calc) 4: maximum
F5 (G-Solv) F2: MAX
i)
Der Roboter legt in den ersten 10 Minuten eine Strecke von 
zurück.
![\(\begin{array}[t]{rll}
h(15)&=& \dfrac{9}{40} 15^3-\dfrac{27}{2} 15^2+\dfrac{405}{2} 15& \\[5pt]
&\approx& 759,38 \; [\,\text{m}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f5f452cf1758022601c820015332c9ea5b6b3bcb85e115c44fe595a03d6d534b?color=5a5a5a)
Zum Zeitpunkt 
hat der Roboter einen Abstand von 
Metern zur Wasseroberfläche. Er legt somit im Intervall ![\([10; 15]\)](https://mathjax.schullv.de/84ef120b76aacc07dc3d75ac77dfaa9c82f227987b3b42df20fc385c872dfe9a?color=5a5a5a)
eine Strecke von 
zurück.
Der Roboter legt folglich etwa 1041 Meter zurück.
j)
Die -Koordinate des Wendepunkts gibt den Zeitpunkt an, zu dem der Roboter während des Aufsteigens die größte Geschwindigkeit hat.
k)
Es soll gelten:
Mit dem solve-Befehl des GTR folgt:
und 
In Verbindung mit der Abbildung ergibt sich, dass der gesuchte Zeitraum vom Beobachtungsbeginn bis 8 Minuten nach Beobachtungsbeginn dauert.