Aufgabe 3
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte 
und 
sowie der Punkt 
gegeben.
modelliert wird, wobei im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.
sind gegeben durch 
Abbildung
a)
Der in der Abbildung dargestellte Körper 
ist ein dreieckiges Prisma.
ist der Punkt 
gegeben.
Ein Architekturbüro plant den Neubau eines Wolkenkratzers, der durch den Körper mit den Eckpunkten
(1)
Gib die Koordinaten des Punktes 
an.
Für
(2)
Zeige, dass das Dreieck 
für jedes im Punkt 
rechtwinklig ist.
(3)
Der Punkt 
soll die Strecke 
im Verhältnis 2:1 teilen.
Gib ein so an, dass diese Bedingung erfüllt.
Gib ein
(4)
Für 
gilt 
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
und das Volumen des Prismas 
[Zur Kontrolle:
]
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
[Zur Kontrolle:
(1+ 3 + 1 + 3 Punkte)
b)
(1)
Die Länge der Kante 
musste wegen der geltenden Bauvorschriften im Vergleich zur Länge der Kante um 
auf 
reduziert werden. Durch diese Reduzierung wird von dem Prisma eine Pyramide mit der Grundfläche abgeschnitten.
Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes im Vergleich zum Volumen des Prismas durch diese Reduzierung verkleinert hat.
(2)
Berechne den Winkel zwischen den Kanten 
und 
(2 + 2 Punkte)
c)
(1)
Zeige, dass
eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche liegt.
Alle Punkte der dreieckigen Dachfläche
(2)
Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden 
modelliert werden kann.
Zeige rechnerisch, dass die Gerade
einen Punkt der dreieckigen Dachfläche enthält.
Zeige rechnerisch, dass die Gerade
(3)
Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt 
die Dachfläche, nachdem es 
auf einer Strecke in Richtung 
geflogen ist.
Ermittle den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke.
Ermittle den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke.
(2 + 4 + 2 Punkte)
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a)
(1)
(2)
Es sind:
und 
Prüfen der Orthogonalität:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{EG_a} \circ \overrightarrow{EF}&=&\pmatrix{-48\\-64\\a-246}\circ \pmatrix{-48\\36\\0} \\[5pt]
&=& 2304-2304 \\[5pt]
&=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c127b7c55b2767812b5de2624be01a78f16b702407dd3467d8ceb2cb2464d465?color=5a5a5a)
Das Dreieck hat also unabhängig von 
in Punkt immer einen rechten Winkel.
(3)
(4)
Da aus (2) folgt, dass das Dreieck rechtwinklig ist, kann dessen Flächeninhalt berechnet werden mit:
Somit ergibt sich 
![\(=590400\;\text{[VE]}.\)](https://mathjax.schullv.de/75966fde113caeed16b15a9ad24e98a11c9ea8f38fb2f8f730ce6f7778c98d49?color=5a5a5a)
b)
(1)
Das Volumen der Pyramide 
lässt sich berechnen durch:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h_{\text{Pyramide}} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3} \cdot 2400 \cdot 100 \\[5pt]
&=& 80000\; \text{[VE]}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fbec2754cd3bfa77d1f1cb35a46cec1d9c222b7b8be152d97f73edff2b6adb75?color=5a5a5a)
Somit verkleinert sich das Volumen um:
(2)
Für den Winkel 
zwischen und 
gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos{(\alpha)}&=& \dfrac{\pmatrix{0\\0\\-246}\circ \pmatrix{0\\-100\\-100}}{\left|\pmatrix{0\\0\\-246}\right|\cdot\left|\pmatrix{0\\-100\\-100}\right|} \\[5pt]
&=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/667a2687b6c95bbaf6814c72df962c329e16bbdfe642b73b4eb9f15c8edfdda7?color=5a5a5a)
Daraus folgt 
c)
(1)
(2)
Mit dem GTR folgt:
Es gilt:
, 
und 
Somit enthält die Gerade einen Punkt der Dachfläche 
(3)