Aufgabe 5

In Deutschland liegt bei $1\,\%$ der Bevölkerung eine Glutenunverträglichkeit vor. Die betroffenen Personen reagieren auf den Verzehr von bestimmten Getreidesorten mit körperlichen Beschwerden. Ob eine Glutenunverträglichkeit vorliegt oder nicht, kann mithilfe eines Schnelltests diagnostiziert werden. Zeigt das Ergebnis dieses Tests die Glutenunverträglichkeit an, so bezeichnet man es als positiv.

Liegt bei einer Person eine Glutenunverträglichkeit vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von $98\,\%$ positiv. Liegt bei einer Person keine Glutenunverträglichkeit vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis dennoch positiv ist, $4\,\%.$ Bei einer Person, die aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählt wurde, wird der Test durchgeführt.

(1)

Erstelle zu dem beschriebenen Sachverhalt ein beschriftetes Baumdiagramm.

(4 BE)

(2)

Ermittle für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

„Bei der Person liegt eine Glutenunverträglichkeit vor und das Testergebnis ist positiv.“

„Das Testergebnis ist negativ.“

(4 BE)

(3)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, wenn das Testergebnis positiv ist.

(4 BE)

Im Rahmen einer Studie sollen aus der Bevölkerung Deutschlands $20.000$ Personen zufällig ausgewählt werden. Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt und gibt die Anzahl der ausgewählten Personen an, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt.

(1)

Bestimme für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$E_1:$

Bei genau $190$ Personen liegt eine Glutenunverträglichkeit vor.

$E_2:$

Bei mehr als $19.800$ Personen liegt keine Glutenunverträglichkeit vor.

$E_3:$

Mindestens $240,$ aber höchstens $2.400$ Personen besitzen eine Glutenunverträglichkeit.

(6 BE)

(2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ abweicht.

(5 BE)

Der Test wird mithilfe eines Teststreifens durchgeführt, auf dem eine Substanz als Indikator aufgebracht ist. Ist die Indikatormenge auf einem Teststreifen zu gering, so ist dieser unbrauchbar.
Der Hersteller der Teststreifen verfolgt das Ziel, dass höchstens $10\,\%$ der hergestellten Teststreifen unbrauchbar sind, und führt deshalb regelmäßig eine Qualitätskontrolle durch. Dazu wird der laufenden Produktion eine Stichprobe von $100$ Teststreifen entnommen. Nur wenn sich darunter mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen befinden, entscheidet man sich dafür, das Herstellungsverfahren zu verbessern.

(1)

Wenn $10\,\%$ der hergestellten Teststreifen unbrauchbar sind, ist eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens entsprechend der Zielvorgabe noch nicht erforderlich.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Hersteller sich aufgrund einer Stichprobe und seiner Entscheidungsregel in diesem Fall dennoch um eine Verbesserung des Verfahrens bemüht.

(4 BE)

(2)

Durch einen Maschinendefekt sind statt $10\,\%$ nun $18\,\%$ der Teststreifen unbrauchbar.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Defekt bei Beibehaltung der Entscheidungsregel fälschlicherweise nicht bemerkt wird.

(4 BE)

Im Rahmen der Qualitätskontrolle wird u. a. die Indikatormenge auf den einzelnen Teststreifen gemessen. Die Tabelle zeigt die absoluten Häufigkeiten der aufgetretenen Mengen bei einer Stichprobe von $100$ Teststreifen.

Indikatormenge in $\text{mg}$	Anzahl der Teststreifen
$15$	$4$
$16$	$9$
$17$	$10$
$18$	$48$
$19$	$18$
$20$	$11$

(1)

Bestimme für diese Häufigkeitsverteilung das arithmetische Mittel und die Standardabweichung.

(6 BE)

(2)

Bei einer früheren Qualitätskontrolle lagen das arithmetische Mittel bei $18\,\text{mg}$ und die Standardabweichung bei $4,3\,\text{mg}.$
Erläutere unter Berücksichtigung deiner Ergebnisse aus (1), welche Rückschlüsse sich aus diesen Kenngrößen auf die Qualitätsentwicklung des Produktionsverfahrens ziehen lassen.

(3 BE)

(1)

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen

Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:

$G:$ Es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor
$\overline{G}:$ Es liegt keine Glutenunverträglichkeit vor
$T:$ Der Test liefert ein positives Ergebnis.
$\overline{T}:$ Der Test liefert ein negatives Ergebnis.

Diagramm eines Entscheidungsbaums mit Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ergebnisse.

Abb. 1: Baumdiagramm

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten ermitteln

Mit den Pfadregeln ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,98\,\% \\[10pt] P(B)&=& 95,06\,\% \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

(3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:

$P_T(G)\approx 19,84\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $19,84\,\%$ liegt eine Glutenunverträglichkeit vor, wenn das Testergebnis positiv ist.

(1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

$X$ ist binomialverteilt mit $p= 0,01$ und $n= 20.000$ und beschreibt die Anzahl der Personen, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt.
Mit dem CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X=190)\\[5pt] \approx& 0,0225 \\[5pt] =&2,25\,\% \\[10pt] &P(X\leq 199)\\[5pt] \approx& 0,4905 \\[5pt] =& 49,05\,\% \\[10pt] &P(240\leq X \leq 2.400)\\[5pt] \approx& 0,0031 \\[5pt] =&0,31\,\% \end{array}$

Eingabemaske für eine Binomialverteilung mit Feldern für Versuche, Wahrscheinlichkeit und X-Wert.

Abb. 2: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ D: Binom Pdf

Eingabefenster für eine binomiale Verteilung mit verschiedenen Parametern und Optionen.

Abb. 3: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ E: Binom Cdf

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$X$ kann nach b) (1) als binomialverteilt angenommen werden mit $n= 20.000$ und $p=0,01.$ Der Erwartungswert ergibt sich also zu:
$\mu = n\cdot p = 20.000\cdot 0,01 = 200$
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich mithilfe des CAS wie oben:

$... \approx 14,50\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $14,50\,\%$ weicht die Anzahl der Personen mit Glutenunverträglichkeit um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ ab.

(1)

$\blacktriangleright$ Fehlerwahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung bestimmen

Betrachtet wird die Zufallsvariable $Y,$ die die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen unter $100$ Teststreifen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ angenommen werden.
Der beschriebene Fehler tritt auf, wenn $p=0,1$ gilt, aber trotzdem mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden werden. Nimmt man also für $Y$ $p=0,1$ an, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung zu:

$P(Y\geq 16 )\approx 3,99\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $3,99\,\%$ bemüht sich der Hersteller irrtümlich um eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Betrachtet wird die Zufallsvariable $Z,$ die die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen unter $100$ Teststreifen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ angenommen werden.
Der beschriebene Fehler tritt auf, wenn $p=0,18$ gilt, aber trotzdem weniger als $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden werden. Nimmt man also für $Z$ $p=0,18$ an, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit mithilfe des CAS zu:

$P(Z\leq 15 )\approx 26,30\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $26,30\,\%$ bleibt der Defekt unentdeckt.

(1)

$\blacktriangleright$ Arithmetisches Mittel und Standardabweichung bestimmen

Mit den entsprechenden Formeln ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& 18 \\[10pt] s&=& 1,2\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Das arithmetische Mittel beträgt $18\,\text{mg},$ die Standardabweichung ist $1,2\,\text{mg}.$

(2)

$\blacktriangleright$ Rückschlüsse erläutern

Da sich das arithmetische Mittel mit $18\,\text{mg}$ nicht verändert hat, befinden sich im Schnitt weiterhin $18\,\text{mg}$ Indikatormenge auf einem Teststreifen.
Die Standardabweichung wurde von $4,3\,\text{mg}$ auf $1,2\,\text{mg}$ reduziert. Die Indikatormenge weicht also im Schnitt nicht mehr so weit vom arithmetischen Mittel ab wie zuvor.
Daher kann man davon ausgehen, dass sich die Qualität des Produktionsverfahrens verbessert hat.

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[3]

(1)

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen

Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:

$G:$ Es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor
$\overline{G}:$ Es liegt keine Glutenunverträglichkeit vor
$T:$ Der Test liefert ein positives Ergebnis.
$\overline{T}:$ Der Test liefert ein negatives Ergebnis.

Abb. 1: Baumdiagramm

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten ermitteln

Mit den Pfadregeln ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,98\,\% \\[10pt] P(B)&=& 95,06\,\% \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

(3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:

$P_T(G)\approx 19,84\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $19,84\,\%$ liegt eine Glutenunverträglichkeit vor, wenn das Testergebnis positiv ist.

(1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

$X$ ist binomialverteilt mit $p= 0,01$ und $n= 20.000$ und beschreibt die Anzahl der Personen, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt.
Mit dem CAS ergibt sich:

Dialogfenster für die Berechnung der Binomialverteilung mit Eingabefeldern für x, Umfang n und pos.

Abb. 2: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktion $\to$ Diskret $\to$ binomialPDf

Dialogfeld zur Berechnung der binomialen kumulativen Verteilungsfunktion mit Eingabefeldern.

Abb. 3: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktion $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$... \approx 14,50\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $14,50\,\%$ weicht die Anzahl der Personen mit Glutenunverträglichkeit um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ ab.

(1)

$\blacktriangleright$ Fehlerwahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung bestimmen

$P(Y\geq 16 )\approx 3,99\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $3,99\,\%$ bemüht sich der Hersteller irrtümlich um eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

$P(Z\leq 15 )\approx 26,30\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $26,30\,\%$ bleibt der Defekt unentdeckt.

(1)

$\blacktriangleright$ Arithmetisches Mittel und Standardabweichung bestimmen

Mit den entsprechenden Formeln ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=& 18 \\[10pt] s&=& 1,2\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Das arithmetische Mittel beträgt $18\,\text{mg},$ die Standardabweichung ist $1,2\,\text{mg}.$

(2)

$\blacktriangleright$ Rückschlüsse erläutern

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[3]