Pflichtteil
Aufgabe 1 - Analysis
Betrachtet werden die Funktionen 
mit 
Es gilt 
Jeder Graph von besitzt einen Wendepunkt und zwei Extrempunkte.
a)
Zeige, dass der Wendepunkt immer auf der 
-Achse liegt.
b)
Bestimme alle Werte für den Parameter 
, sodass ein Extrempunkt auf der 
-Achse liegt.
(2 + 3 Punkte)
Aufgabe 2 - Vektorielle Geometrie
Gegeben sind die Punkte 
und 
sowie eine Gleichung der Geraden 
mit
Bestätige, dass die Strecke 
von der Geraden geschnitten wird.
(5 Punkte)
Aufgabe 3 - Stochastik
Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“ ; die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.
a)
Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.
b)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt.
(2 + 3 Punkte)
(15 Punkte)
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a)
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a](https://mathjax.schullv.de/f2b1e04d08fbdb6a3bd770dd1d5315c33fee27ebc56cb949766c54047e400d8b?color=5a5a5a)
3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendestellen anwenden
Der Graph der Funktion 
besitzt somit unabhängig vom Parameter bei 
einen Wendepunkt.
Der Wendepunkt liegt folglich immer auf der y-Achse.
b)
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a](https://mathjax.schullv.de/bdd8db5acbbd31236099452ca0dc69f7d081b1dcc45ac7e161b696780f858e16?color=5a5a5a)
2. Schritt: Hinreichende Bedingung anwenden
3. Schritt: -Koordinaten bestimmen
Durch Einsetzen der Extremstellen in folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(1)&=&2\cdot 1^{3}-6\cdot 1+a & \\[5pt]
&=&-4+a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/58f46260a1382181992726bb3f14083a8fabaae318de103d8131c38344c095c5?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(-1)&=&2\cdot (-1)^{3}-6\cdot (-1)+a & \\[5pt]
&=&4+a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/15851f8b3c91e9f7dd548eb544307597d2d1d5373ade2ca4454c9cac7d6a6fa9?color=5a5a5a)
4. Schritt: Werte für bestimmen
Damit ein Extrempunkt auf der -Achse liegt, muss gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(1)&=& 0 & \\[5pt]
-4+a&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt]
a&=&4& \quad
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ad557c679748911c042e37185f23af1df3b1ae3909274af9f9c35ec977fd7362?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(-1)&=& 0 & \\[5pt]
4+a&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt]
a&=& -4& \quad
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b69712a2d267953857914197a0eb5df4f5949639db060eb8b0191f9940905cf0?color=5a5a5a)
Für die Werte 
und 
liegt folglich ein Extrempunkt auf der x-Achse.
Lösung 2 - Vektorielle Geometrie
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Strecke liegt auf folgender Geraden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h: \, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + s\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-6\\8\\1} + s\cdot \pmatrix{3\\0\\-6 }
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7ef4d101e1d3b65509e09132ab496af296ec85ba0c67a9454305a39aacd22654?color=5a5a5a)
2. Schritt: Schnittpunkt der Geraden ermitteln
Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen von 
und folgt:
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
Aus der zweiten Gleichung folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{II:}\quad 6 &=& -3r &\quad \scriptsize \mid\; :(-3)\\[5pt]
-2 &=& r
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/dcc4023b9f085b4307145f393b33dd338daaf30e817002a9f83fb1481713bcef?color=5a5a5a)
Einsetzen in die erste Gleichung liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{I:}\quad-5 &=& 2r-3s &\quad \scriptsize \mid\; r=-2 \\[5pt]
-5 &=& 2\cdot (-2) -3s \\[5pt]
-5 &=& -4 -3s &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt]
-1 &=& -3s &\quad \scriptsize \mid\;: (-3) \\[5pt]
\dfrac{1}{3} &=& s
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e9aee4c44cbcba241451fbe5aec4c6e622ed216504d72fda8ff20a86143401dd?color=5a5a5a)
Einsetzen der beiden Lösungen in die dritte Gleichung ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{III:}\quad0 &=& 1r +6s \\[5pt]
0 &=& -2 + 6\cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt]
0 &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3418b8891dd749a14d288c36a6184f0b13359a8bda740e6b14b5ad6550f23094?color=5a5a5a)
Lösungen des Gleichungssystems sind somit gegeben durch 
und 
Die Geraden und schneiden sich folglich.
Da 
gilt, liegt der Schnittpunkt auf der Strecke 
Lösung 3 - Stochastik
a)
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p &=& \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5}\\[5pt]
&=& \dfrac{2}{625} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b19ff27f3a6c7fc1aed5a5b44df5cf0e22531051399ab77ef731dd177aff1eda?color=5a5a5a)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 
werden die Zahlen 2, 0, 1 und 9 genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.
b)
Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens 11 betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine 9 und eine 2 oder um eine 9 und eine 9 handelt.
Mit den Pfadregeln folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p &=& \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5}\\[5pt]
&=& \dfrac{8}{25} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a5833d4318d94bbfae9c8bd2a99bfa27aa43d6c7c3e8d7b67e3f628a3c5d06b6?color=5a5a5a)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 
beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens 11.
(2 + 3 Punkte)
(15 Punkte)