Analysis 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{3}{1000}x^4-\frac{8}{100}x^3+\frac{6}{10}x^2.$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \left\lvert\,-\frac{5}{8}\right.\right).$

Abb. 1

(1)

Der Graph von $f$ besitzt den Tiefpunkt $(0 \mid 0).$

Zeige rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt.

Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q\left(\left.-\frac{1}{4} \right\rvert\,-1\right)$ wird mit $t$ bezeichnet.

(2)

Ermittle eine Gleichung von $t$ und weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 \mid f(5))$ ist.

(zur Kontrolle: $t:\; y=\frac{3}{2} x-\frac{5}{8}$ )

(3)

Der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.

Berechne den Inhalt dieser Fläche.

(4)

Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f,$ die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben.

(5)

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ entsteht durch Transformationen aus dem Graphen von $f.$ Der Punkt $(12 \mid 12)$ des Graphen von $g$ entsteht dabei aus dem Punkt $(10 \mid 10)$ des Graphen von $f$ und für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt

$g(x)=a \cdot f(b \cdot x)$ mit $a, b \gt 0.$

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an und berechne die Werte von $a$ und $b.$

(3 + 4 + 5 + 3 + 4 Punkte)

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer $A$ beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer $B$ beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $A$ in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe a) beschrieben.

Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $B$ wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit

$h(x)=\dfrac{1}{576}x^4-\dfrac{1}{18}x^3+\dfrac{1}{2}x^2$

beschrieben. Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

Abb. 2

(1)

Berechne die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ drei Sekunden nach dem Start sowie den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von 8 Meter pro Sekunde erreicht.

(2)

Ermittle die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt 12 Sekunden nach dem Start bewegt.

Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle 12 keinen Knick aufweist.

Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit $x_s$ bezeichnet.

(3)

Bestimme rechnerisch $x_s.$

(4)

Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt.

$\;$

$d(x)=f(x)-h(x).$

$\;$

$\(d$ hat für $0\lt x\lt x_s$ nur die Lösung $x_1$ mit $x_1 \approx 3,64.$

$\;$

$\(d$

$\;$

$d\left(x_1\right) = 0,37.$

Gib die Bedeutung von $d(x)$ für $0\lt x\lt x_s$ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis $0,37.$

(5)

(i)

Zeige, dass Radfahrer $A$ in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurücklegt.

(ii)

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem Radfahrer $B$ $43$ Meter vom Start entfernt ist.

(3 + 3 + 2 + 4 + 4 Punkte)

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(1)

Für die erste Ableitung von $f$ liefert das CAS:

$\( f$

Die notwendinge Bedingung für Extremstellen $\(f$ liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&10 \end{array}$

Einsetzen von Werten um $x_2=10$ herum in $\(f$ liefert weiter, dass sich das Vorzeichen an dieser Stelle nicht ändert. Somit besitzt der Graph von $f$ dort keinen Extrempunkt, das heißt nach der notwendingen Bedingung für Extremstellen ist $x_1=0$ die einzige Extremstelle.

(2)

Gleichung von $\boldsymbol{t}$ ermitteln

Die gesuchte Gerade $t$ besitzt die allgemeine Gleichung $y=mx+n,$ wobei der $y$ -Achsenabschnitt $n$ als $n=-\frac{5}{8}$ gegeben ist, da $t$ durch $P$ verläuft. Einsetzen der Koordinaten von $Q$ und Auflösen nach der Steigung $m$ im CAS liefert:

$m=\dfrac{3}{2}$

Eine Gleichung von $t$ ist somit durch $t: y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{8}$ gegeben.

Tangente rechnerisch nachweisen

Es gilt $t(5)=\frac{3}{2}\cdot5-\frac{5}{8}=\frac{55}{8}.$ Einsetzen von $x=5$ in $f(x)$ und $\(f$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(5)&=&\dfrac{3}{1000} \cdot 5^4-\dfrac{8}{100} \cdot 5^3+\dfrac{6}{10} \cdot 5^2 \\[5pt] &=&\dfrac{55}{8} \\[5pt] &=&t(5) \\[10pt] f$

Somit ist $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt mit den Koordinaten $(5\mid f(5)).$

(3)

Gleichsetzen von $f(x)$ und $t(x)$ liefert $\frac{3}{1000} x^4-\frac{8}{100} x^3+\frac{6}{10} x^2=\frac{3}{2}x-\frac{5}{8}.$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&\dfrac{25-5 \sqrt{22}}{3} \\[5pt] x_2&=&5 \\[5pt] x_3&=&\dfrac{25+5 \sqrt{22}}{3} \end{array}$

Da $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $5$ ist, berührt sie diesen an der Stelle $x=5$ nur. Da zudem $x_1\gt0$ gilt und $t$ in diesem Bereich über dem Graphen von $f$ verläuft, folgt, dass $t$ zwischen $x_1$ und $x_3$ über dem Graphen von $f$ liegt. Somit ergibt sich für den gesuchten Flächeninhalt mit dem CAS:

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_3}\left(t(x)-f(x)\right)\;\mathrm dx$ $=\dfrac{770}{81} \sqrt{22}\approx 44,59\;[\text{FE}]$

(4)

(5)

Der Graph von $g$ entsteht aus dem Graphen von $f,$ indem mit dem Faktor $a$ in $y$ -Richtung gestreckt wird und mit dem Faktor $\frac{1}{b}$ in $x$ -Richtung gestreckt wird. Für $a$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} g(12)&=&a\cdot f(10) \\[5pt] 12&=&a\cdot 10 &\quad \scriptsize \mid\;:10\\[5pt] \dfrac{6}{5}&=&a \end{array}$

Für den Wert von $b$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 12&=&\dfrac{1}{b}\cdot10 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] 12b&=&10 &\quad \scriptsize \mid\;:12\\[5pt] b&=&\dfrac{5}{6} \end{array}$

(1)

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=&\dfrac{3}{1000} \cdot 3^4-\dfrac{8}{100} \cdot 3^3+\dfrac{6}{10} \cdot 3^2 \\[5pt] &\approx&3,48 \end{array}$

Drei Sekunden nach dem Start beträgt die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ somit ca. $3,48\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

Für den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von $8\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ hat, liefert die Gleichung $f(x)=8$ mit dem solve-Befehl des CAS folgende Lösung im betrachteten Zeitraum:

$x\approx 5,82$

Radfahrer $A$ erreicht somit ca. $5,82$ Sekunden nach dem Start eine Geschwindigkeit von $8\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

(2)

Konstante Geschwindigkeit ermitteln

Rechenweg anzeigen

$h(12)=12$

Die gesuchte konstante Geschwindigkeit von Radfahrer $B$ beträgt somit $12\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

Knickfreiheit zeigen

Für die Ableitung von $h$ folgt mit dem CAS:

$\( h$

Für $\(h$ folgt somit:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Da Radfahrer $B$ sich ab 12 Sekunden nach dem Start mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt, weist der zugehörige Graph in Abbildung 2 somit an der Stelle $12$ keinen Knick auf.

(3)

Aus der Gleichung $f(x)=h(x)$ folgt mit dem solve-Befehl des CAS als Lösung im Zeitraum $0\lt x\lt10:$

$x_s=\dfrac{880-20 \sqrt{298}}{91} \approx 5,88$

(4)

Bedeutung von $\boldsymbol{d(x)}$ angeben

Der Funktionswert $d(x)$ gibt an, um wie viele Meter pro Sekunde Radfahrer $A$ zum Zeitpunkt von $x$ Sekunden nach dem Start schneller ist als Radfahrer $B.$

Interpretation des Ergebnisses

Der größte Unterschied der Geschwindigkeiten der beiden Radfahrer innerhalb der ersten $x_s$ Sekunden nach dem Start beträgt ca. $0,37\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

(5)

(i)

Lösung anzeigen

Radfahrer $A$ legt somit in den ersten $8,3$ Sekunden ungefähr $43$ Meter zurück.

(ii)

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{2880}\cdot {x_t}^5 -\dfrac{1}{72} \cdot {x_t}^4+\dfrac{1}{6} \cdot {x_t}^3=43$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $x_t\approx8,29.$ Somit ist Radfahrer $B$ nach ca. $8,29$ Sekunden $43$ Meter vom Start entfernt.

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