Aufgabe 4

Die Firma „Schraubenwind“ stellt Schrauben und Muttern für den Bau von Windkraftanlagen her. Wegen der extremen Belastung werden besondere Anforderungen an diese Verbindungselemente gestellt. Eine hochwertige Schraube zeichnet sich durch die Qualität des Schraubenkörpers und die Qualität der anschließenden Beschichtung aus. Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind.

Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. $97 \,\%$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1,5 \,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5 \,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung.

(1)

Stelle den beschriebenen Sachzusammenhang im folgenden Baumdiagramm dar.

(2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

$E_1:$

Eine zufällig ausgewählte Schraube ist fehlerfrei.

$E_2:$

Eine zufällig ausgewählte Schraube weist eine fehlerhafte Beschichtung auf.

(3)

Die Beschichtung einer zufällig ausgewählten Schraube ist fehlerhaft.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schraube einen fehlerhaften Schraubenkörper aufweist.

(2 + 3 + 2 Punkte)

Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4,5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p=0,045$ ist.

(1)

In einer Untersuchung werden 500 Schrauben zufällig der Produktion entnommen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal 20 Schrauben fehlerhaft sind.

(2)

Ermittle, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 \,\%$ mindestens 200 dieser Schrauben fehlerfrei sind.

(2 + 3 Punkte)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt 5000 fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

(1)

Ermittle, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens 5000 beträgt.

(2)

Es werden $5236$ Schrauben produziert.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht.

(2 + 2 Punkte)

„Wind 24“ beschwert sich bei „Schraubenwind“. Die Qualität der gelieferten Schrauben habe stark nachgelassen: Ca. $8 \,\%$ der gelieferten Schrauben seien fehlerhaft. Da „Wind 24“ der wichtigste Kunde von „Schraubenwind“ ist, werden 200 Schrauben zufällig der laufenden Produktion entnommen und auf ihre Qualität hin untersucht. Die Firmenleitung will die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweisen, falls neun oder weniger Schrauben unter den 200 untersuchten Schrauben fehlerhaft sind.

(1)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, falls der Produktionsprozess eine Fehlerquote von $8\,\%$ aufweist.

(2)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, falls der Produktionsprozess nach wie vor nur eine Fehlerquote von $4,5 \,\%$ aufweist.

(2 + 2 Punkte)

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(1)

K+: Schraubenkörper fehlerfrei
K-: Schraubenkörper fehlerhaft
B+: Beschichtung fehlerfrei
B-: Beschichtung fehlerhaft

(2)

$P(E_1)=0,97\cdot 0,985=0,95545$

$P(E_2)=0,97\cdot 0,015+0,03\cdot0,05=0,01605$

(3)

Falls eine (zufällig gewählte) Schraube eine fehlerhafte Beschichtung aufweist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schraubenkörper fehlerhaft ist $\dfrac{0,0015}{0,01455+0,0015}\approx0,09346.$

(1)

$P_{500;0,045}(X\leq20)\approx0,343=34,3\;\text{%}$

(2)

Die Wahrscheinlichket $p^*$ , mit welcher eine zufällig ausgewählte Schraube fehlerfrei ist, ergibt sich als $p^*=1-0,045=0,955.$

Somit gilt:

$P_{n;0,955}(X\geq200)\geq0,95$

Für $n=214$ ergibt sich $P_{214;0,955}=0,9388$ und für $n=215$ ergibt sich $P_{215;0,955}=0,9652.$ Es müssen also mindestens $215$ Schrauben entnommen werden.

(1)

Für den Erwartungswert gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu^*&=& n^* \cdot p^* \\[5pt] 5000&=& n^* \cdot 0,955 &\quad \scriptsize \mid\;:0,955\\[5pt] 5235,6&=& n^* \\[5pt] \end{array}$

Es müssen also mindestens 5236 Schrauben produziert werden, damit der Erwartungs- wert für fehlerfreie Schrauben mindestens 5000 beträgt.

(2)

Binomialverteilung mit $n^*=5236$ und $p^*=0,955.$

$P_{5236;0,955}(X\geq5000)\approx0,5274$

Wenn $5236$ Schrauben produziert werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht, ca. $52,74 \;\text{%}$ .

(1)

$P_{200;0,08}(X\leq9)=0,03737$

Falls die Fehlerquote bei $8\; \text{%}$ liegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass „Schraubenwind“ die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, ca. $3,737\; \text{%}$ .

(2)

$P_{200;0,045}(X\geq10)=0,4126$

Falls die Fehlerquote nach wie vor nur $4,5 \;\text{%}$ beträgt, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass „Schraubenwind“ die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, bei ca. $41,26 \;\text{%}$ .

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