Teil A2
a)
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
.
(1)
Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt dar.
Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe.
Abbildung 1
(2)
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von und die 
-Achse einschließen.
Hinweis: Die Nullstellen dürfen dabei der obigen Abbildung 1 entnommen werden.
(2 + 3 Punkte)
b)
Gegeben ist die Funktion mit 
, 
.
Der Graph von ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
(1)
Die Funktion besitzt genau eine Extremstelle.
Ermittle die Extremstelle von 
Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.
(2)
Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von
Hinweis: Die Größe der 
-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben.
(3 + 2 Punkte)
c)
Für jedes 
ist durch die Gleichung
, ,
eine Funktion 
gegeben.
(1)
Gib die Nullstellen der Funktion 
mit 
an.
(2)
In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion für ein konkretes abgebildet.
Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: 
.
Abbildung 3
(3)
Ermittle, für welchen Wert von der Punkt 
auf dem Graphen der Funktion liegt.
(1 + 2 + 2 Punkte)
d)
Die Zufallsgröße 
ist binomialverteilt mit den Parametern 
und 
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ist symmetrisch zum Erwartungswert.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von
(1)
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von .
(2)
Die Wahrscheinlichkeit 
beträgt etwa 
Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit 
.
(3 + 2 Punkte)
e)
Im Folgenden werden zwei Würfel stets gemeinsam geworfen. Bei jedem der beiden Würfel sind die Seiten mit den Zahlen von 
bis 
durchnummeriert.
(1)
Die beiden Würfel werden einmal geworfen.
Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine 
auftritt, 
beträgt.
(2)
Die beiden Würfel werden 
-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine auftritt.
Begründe für jede der folgenden Abbildungen 
und 
dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von zeigt.
(2 + 3 Punkte)
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a)
(1)
Der Verlauf des Graphens richtet sich immer nach dem höchsten Exponenten.
Die Graphen II und III kommen nicht infrage, denn Graph III stellt keine ganzrationale Funktion dar und Graph II entspricht dem Graphen der Funktion
Die Graphen II und III kommen nicht infrage, denn Graph III stellt keine ganzrationale Funktion dar und Graph II entspricht dem Graphen der Funktion
(2)
Der Graph von schließt mit der -Achse zwei gleich große Flächen ein. Da Graph I punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, reicht es, nur eine der beiden eingeschlossenen Flächen zu berechnen und diese dann zu verdoppeln.
![\(=2\cdot\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0=2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\right)
\)](https://mathjax.schullv.de/1b2dec9c120662d32f4326a27f6d8d64ad0849dacd891d865bb2304e3ae98afd?color=5a5a5a)
b)
(1)
(2)
c)
(1)
Nullstellen angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_1(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt]
(x+2)(2x+1)\cdot \mathrm e^x &=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/92fbe9f48304e0e45f2e4bb43c4173557913e943061cf9985c029044bd5325c7?color=5a5a5a)
Es ist 
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt 
oder 
Daraus folgt die erste Nullstelle mit 
und die zweite mit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \mid\;:2 \\[5pt]
x_2&=& -\dfrac{1}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fe65c9da0cdc76f1d4b140a609add28aeea70721c8102854f68f3eb311c77c47?color=5a5a5a)
(2)
1. Schritt: Nullstellen von angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt]
(x+2)(2x+a)\cdot \mathrm e^x &=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/64ba5691361237ce8ed5956adbe5de6ec637295900c430d6a2e1a528f9c45459?color=5a5a5a)
Es ist Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt oder 
Die Nullstellen von folgen daraus mit 
und 
2. Schritt: Nullstellen der Abbildung
Der Graph in der Abbildung hat die Nullstellen 
und 
Daraus folgt, dass
gilt.
Daraus folgt, dass
(3)
d)
(1)
Erwartungswert
Standardabweichung
(2)
Da 
gilt, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von symmetrisch zum Erwartungswert 
daraus folgt 
e)
(1)
Die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln beträgt 
Bei zwei Würfen hintereinander beträgt die Wahrscheinlichkeit mit der Pfadmultiplikationsregel 
(2)
Der höchste Balken stellt den Erwartungswert dar. Bei 
Würfen und der Wahrscheinlichkeit 
ergibt sich der Erwartungswert von mit 
Auf keiner der abgebildeten Abbildungen entspricht der höchste Balken einem Wert von 25.
Abbildung 4: Die höchste Säule befindet sich bei 20.
Abbildung 5: Die Summe der Höhen der Säulen ist größer als 1.
Abbildung 6: Die Höhe der Säule bei 37 ist größer als null.