Aufgabe 1

In einem Entwicklungslabor wird der Ladevorgang bei Akkus an verschiedenen Ladegeräten getestet. Der zeitliche Verlauf der Ladung bei Verwendung eines bestimmten Ladegerätes wird durch die Funktion $Q$ mit $Q(t)= 1000 \left( 1-\mathrm e^{-0,4\cdot t}\right)$ modelliert und ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

Dabei gibt $t$ die seit Beginn des Ladevorgangs vergangene Zeit in Stunden und $Q(t)$ die Ladung des Akkus zum Zeitpunkt $t$ (Einheit: $\text{mAh}$ ) an. Der Ladevorgang beginnt zum Zeitpunkt $t = 0$ und es gilt $Q(0) = 0,$ d.h., in der Modellierung wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ladung des Akkus zu Beginn immer den Wert $0$ hat.

(1)

Der Verlauf des Graphen legt die Vermutung nahe, dass sich die Funktion $Q$ für große Werte von $t$ dem Wert $1000$ annähert und ihn nicht überschreitet.
Entscheide begründet, ob diese Vermutung wahr ist.

(3 Punkte)

Die maximale Ladung, die ein Akku unter idealen Bedingungen aufnehmen kann, wird Kapazität genannt. In diesem Falle hat der Akku eine Kapazität von $1000\,\text{mAh}.$ Eine Balkenanzeige am Ladegerät signalisiert während des Ladevorgangs den momentanen Ladezustand des Akkus mit folgenden Symbolen:

kein Balken:

Die Ladung beträgt weniger als $30\,\%$ der Kapazität.

ein Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $30\,\%$ und unter $60\,\%$ der Kapazität.

zwei Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $60\,\%$ und unter $90\,\%$ der Kapazität.

drei Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $90\,\%$ der Kapazität.

$\,$

(2)

Bestimme, wie viele Minuten es ab dem Start des Ladevorgangs dauert, bis die Balkenanzeige den ersten Balken anzeigt. Begründe anschaulich, ggf. mit Abbildung 1, dass die Zeitdauer bis zum Erscheinen eines weiteren Balkens von Balken zu Balken immer größer wird.

(5 Punkte)

Die momentane Änderungsrate der Ladung $Q$ wird Ladestrom $I$ genannt $($ Einheit: $\,\text{mA}).$
Der Ladestrom wird zur Kontrolle des Ladungsvorgangs benutzt. In diesem Falle lautet also die Funktionsgleichung für den Ladestrom: $\(I(t)=Q$

(1)

Begründe, dass der Ladestrom $I$ zum Startzeitpunkt des Ladevorgangs am größten ist.

(3 Punkte)

$\,$

(2)

Um den Akku zu schonen, soll der Ladestrom während des Ladevorgangs den Wert $500$ nicht überschreiten. Entscheide begründet, ob diese Bedingung beim vorliegenden Ladevorgang eingehalten wird.

(3 Punkte)

$\,$

(3)

Der Ladevorgang wird abgeschaltet, wenn der Ladestrom $I$ den Wert $10$ erreicht.
Bestimme die Dauer des Ladevorgangs in Stunden und Minuten, wenn der Ladevorgang nach dieser Bedingung abgeschaltet wird. Bestimme die Anzahl der Balken, die die Balkenanzeige dann anzeigt.

(6 Punkte)

Im Folgenden wird der Ladevorgang für einen Akku der Kapazität $1000\,\text{mAh}$ an verschiedenen Ladegeräten verglichen. Der zeitliche Verlauf des Ladevorgangs für verschiedene Ladegeräte wird durch Funktionen $Q_k$ mit $Q_k(t)=1000\left(1-\mathrm e^{-k\cdot t}\right),$ $k\in \mathbb{R},$ $k \gt 0,$ modelliert und ist für $k = 0,2;$ $k = 0,4;$ $k = 0,6$ und $k = 0,95$ in Abbildung 2 dargestellt.

Abb. 2

(1)

Beschreibe die Bedeutung größer werdender Werte für den Parameter $k$ im Sachzusammenhang.

(2 Punkte)

$\,$

(2)

Gib an, welcher Graph in Abbildung 2 zu welchem Parameter gehört.

(2 Punkte)

Ein Akku der Kapazität $1.000\,\text{mAh}$ wird durch ein defektes Ladegerät fälschlicherweise mit einem Ladestrom geladen, der durch die Funktionsvorschrift $I_d(t)=(100t+50)\mathrm e^{-0,4\cdot t+0,1}$ modelliert wird. Nach $12$ Stunden wird der Ladevorgang an diesem Ladegerät abgebrochen.

(1)

Zeige rechnerisch, dass die Funktion $I_d$ genau ein lokales Maximum besitzt.

(5 Punkte)

$\,$

(2)

Begründe, dass während des Ladevorgangs der Ladestrom $I_d$ den Wert $150$ nie überschreitet.

(3 Punkte)

Die Funktion $Q_d$ beschreibt die Ladung des Akkus beim Ladevorgang an dem defekten Ladegerät.

$\,$

(3)

Begründe, dass die Funktion $Q_d$ für $t \gt 0$ monoton steigt.

(2 Punkte)

$\,$

(4)

Begründe, dass die funktion $Q_d$ eine Wendestelle besitzt.

(2 Punkte)

$\,$

(5)

Bestimme die Ladung des Akkus an diesem Ladegerät, wenn der Ladevorgang nach $12$ Stunden abgebrochen wird.

(4 Punkte)

(1)

$\blacktriangleright$ Vermutung überprüfen

Der Funktionsterm von $Q$ ist $Q(t)= 1.000\left(1-\mathrm e^{-0,4\cdot t}\right).$ Für größer werdende Werte von $t$ wird aufgrund des negativen Vorzeichens im Exponenten der Wert $e^{-0,4\cdot t}$ immer kleiner, bleibt aber immer positiv. Dieser Wert nähert sich also Null an, erreicht Null aber niemals. Insgesamt nähert sich damit der Wert $1-\mathrm e^{-0,4\cdot t}$ immer mehr dem Wert $1$ an, nimmt diesen aber niemals an und überschreitet ihn demnach auch nicht, da immer etwas subtrahiert wird.
Insgesamt wird daher $1.000$ immer mit einem Wert $\lt 1$ multipliziert, der sich für größere Werte von $t$ immer mehr dem Wert $1$ annähert, diesen aber nicht überschreitet. Der gesamte Funktionsterm nähert sich für große Werte von $t$ daher immer mehr dem Wert $1.000$ an ohne diesen zu überschreiten.
Die Vermutung ist also wahr.

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Dauer bis zum ersten Balken bestimmen

Der erste Balken erscheint, wenn mindestens $30\,\%$ des Akkus geladen sind, wenn also die Ladung $Q(t)=300$ beträgt. Diese Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen:

Du erhältst dann:

$\begin{array}[t]{rll} Q(t)&=& 300 \\[5pt] 1.000\cdot\left(1-\mathrm e^{-0,4\cdot t} \right) &=& 300 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t &\approx& 0,89 \end{array}$

$0,89\,\text{h} = 53,4\,\text{min}$

$53,4$ Minuten nach Beginn des Ladevorgangs zeigt die Balkenanzeige den ersten Balken.

$\blacktriangleright$ Längerwerdende Dauer begründen

In Abbildung 1 lässt sich erkennen, dass der Graph von $Q$ mit größer werdenden Werten von $t$ immer weniger stark ansteigt, da er sich der Asymptote $y=1.000$ annähert.
Die Ladung des Akkus nimmt also immer langsamer zu je weiter der Akku schon geladen ist. Mit zunehmender Ladung braucht der Akku also immer länger, um die gleiche Ladung dazuzugewinnen.
Da die Balken jeweils in einem konstanten Ladungsabstand von $30\,\%$ bzw. $300\,\text{mAh}$ angezeigt werden, dauert es also immer länger, bis der nächste Balken angezeigt wird.

(1)

$\blacktriangleright$ Größten Ladestrom begründen

Der Ladestrom wird durch die Funktion $I$ mit $I(t) = 400\mathrm e^{-0,4\cdot t}$ beschrieben. Für größer werdende Werte von $t$ wird $\mathrm e^{-0,4\cdot t}$ immer kleiner, der Faktor $400$ bleibt dagegen konstant. Die Funktion $I$ ist also für $t\geq0$ streng monoton fallend. Der Ladestrom ist also zum Startzeitpunkt am größten.

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Bedingung überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} I(0)&=& 400\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot 0} \\[5pt] &=& 400 \end{array}$

Der Ladestrom ist nach b) (1) zu Beginn des Ladevorgangs am größten. Zu dem Zeitpunkt beträgt er $400\,\text{mA}.$ Der größte Wert des Ladestroms ist also kleiner als $500\,\text{mA},$ sodass die angegebene Bedingung eingehalten wird.

$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Dauer des Ladevorgangs bestimmen

Löse die Gleichung $I(t)=10$ mit deinem CAS wie oben. Du erhältst dann:

$\begin{array}[t]{rll} I(t)&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\;CAS \\[5pt] t&\approx& 9,22 \end{array}$

$9,22 \,\text{h} = 9\,\text{h} + 13,2\,\text{min}.$

Wird der Ladevorgang wie beschrieben abgebrochen, dauert er ca. $9$ Stunden und $13$ Minuten.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Balken bestimmen

$Q(9,22)\approx 975$

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Beim Beenden des Ladevorgangs beträgt die Ladung ca. $975\,\text{mAh},$ was $97,5\,\%$ entspricht. Die Anzeige zeigt also drei Balken.

(1)

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Parameterwerte im Sachzusammenhang beschreiben

Betrachte den Ladestrom $I_k(t) = Q_k‘(t)= 1.000\cdot k\cdot \mathrm e^{-k\cdot t}.$ Je größer der Ladestrom ist, desto schneller lädt der Akku. Für größere Werte von $k$ wird auch $I_k(t)$ größer.
Je größer der Parameterwert $k$ ist, desto desto schneller lädt der Akku und desto schneller erreicht die Ladung ihren Grenzwert.

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Parameterwerte zuordnen

Mit Teilaufgabe c) (1) folgt:

Der Graph von Ladegerät 1 gehört zu $k= 0,95.$
Der Graph von Ladegerät 2 gehört zu $k= 0,6.$
Der Graph von Ladegerät 3 gehört zu $k= 0,4.$
Der Graph von Ladegerät 4 gehört zu $k= 0,2.$

(1)

$\blacktriangleright$ Lokales Maximum nachweisen

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit der Produkt- und der Kettenregel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} I_d(t) &=& ... \\[5pt] I_d‘(t)&=& ... \\[10pt] I_d‘‘(t)&=& ... \\[10pt] \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} I_d‘(t)&=& 0 \\[5pt] ... \\[5pt] t&=& 2 \end{array}$

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Die Funktion $I_d$ kann also höchstens ein lokales Maximum besitzen, da nur an der Stelle $t=2$ das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen erfüllt ist.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium anwenden

$I_d‘‘(2) \lt 0$

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An der einzigen Stelle, an der das notwendige Kriterium für ein lokales Extremum erfüllt ist, besitzt $I_d$ also ein Maximum. $I_d$ besitzt daher genau ein lokales Maximum.

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Grenze begründen

An der Stelle $t=2$ hat $I_d$ laut d) (1) ein lokales Maximum. Der Funktionswert beträgt dort:

$I_d(2)\approx 124,15$

Vollständige Lösung anzeigen

Da dies die einzige lokale Extremstelle von $I_d$ ist, kann es keine Randextrema geben. Der maximale Wert, den der Ladestrom annimmt ist daher $124,15.$ Er kann also den Wert $150$ nie überschreiten.

$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Steigung der Funktion begründen

Für alle $t\gt 0$ ist $(100t+50) \gt 0$ und auch $\mathrm e^{-0,4\cdot t+0,1} \gt 0.$ Insgesamt ist also $I_d(t) \gt 0$ für alle $t\gt 0.$ Da $I_d$ die Änderungsrate von $Q_d$ beschreibt und diese daher positiv ist für alle $t\gt 0,$ ist $Q_d$ für $t\gt 0$ monoton steigend.

$\,$

(4)

$\blacktriangleright$ Existenz einer Wendestelle begründen

$I_d$ ist die erste Ableitungsfunktion von $Q_d.$
In Teilaufgabe d) (1) wurde bereits gezeigt, dass $I_d$ ein lokales Maximum besitzt. Eine lokale Extremstelle der ersten Ableitungsfunktion ist eine Wendestelle der Ursprungsfunktion. $Q_d$ besitzt also an der Stelle $t=2$ eine Wendestelle.
Dies lässt sich auch über die entsprechenden Kriterien nachweisen. Da $I_d = Q_d‘$ ist, ist auch $Q_d‘‘=I_d‘$ und $Q_d‘‘‘=I_d‘‘.$ Wegen d) (1) gilt:

$I_d‘(2)= 0,$ also $Q_d‘‘(2)=0$
$I_d‘‘(2)\neq 0,$ also $Q_d‘‘‘(2)\neq 0$

Sowohl das notwendige als auch das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist für $Q_d$ also an der Stelle $t=2$ erfüllt. Die Funktion $Q_d$ besitzt also eine Wendestelle.

$\,$

(5)

$\blacktriangleright$ Ladung bestimmen

Zu Beginn des Ladevorgangs beträgt die Ladung Null. Daher kann die Ladung nach $12$ Stunden mithilfe des Integrals von $0$ bis $12$ über $I_d$ bestimmt werden. Zur Berechnung des Integrals kannst du deinen CAS verwenden:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{12}I_d(t)\;\mathrm dx&\approx& 795 \\[5pt] \end{array}$

Wenn der Ladevorgang nach $12$ Stunden abgebrochen wird, beträgt die Ladung des Akkus an diesem Ladegerät ca. $795\,\text{mAh}.$