Aufgabe 4

Mit einem Glücksrad mit fünf gleich großen Sektoren (siehe Abbildung 1), einem Spielplan und einer Figur (siehe Abbildung 2) wird folgendes Spiel gespielt:

Abbildung 1: Glücksrad

Abbildung 2: Spielplan mit Figur

Zu Beginn entscheidet der Spieler, ob er sein Spiel auf dem Feld $2,$ $3$ oder $4$ beginnt. Er stellt die Figur auf dem Spielplan auf das Feld mit der entsprechenden Zahl. Anschließend wird das Glücksrad gedreht. Die Figur bewegt sich dann nach den folgenden Regeln:

Zeigt der Pfeil am Glücksrad auf die Zahl des Feldes, auf dem sich die Figur befindet, so bleibt die Figur auf diesem Feld.
Zeigt der Pfeil auf eine Zahl, die größer als die Zahl des Feldes ist, auf dem sich die Figur befindet, so wandert die Figur ein Feld nach rechts.
Zeigt der Pfeil auf eine Zahl, die kleiner als die Zahl des Feldes ist, auf dem sich die Figur befindet, so wandert die Figur ein Feld nach links.

Erreicht die Figur das Feld $1,$ so hat der Spieler das Spiel verloren und das Spiel ist beendet.
Erreicht die Figur das Feld $5,$ so hat der Spieler das Spiel gewonnen und das Spiel ist beendet.

Das Spiel kann als stochastischer Prozess mit den Zuständen $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, Z_{4}$ und $Z_{5}$ modelliert werden. Zustand $Z_{1}$ bedeutet, dass sich die Figur auf dem Feld $1$ befindet, Zustand $Z_{2}$ bedeutet, dass sich die Figur auf dem Feld $2$ befindet usw.

Der Spielverlauf kann durch die Matrix $M$ modelliert werden:

$Z_1$

$Z_2$

$Z_3$

$Z_4$

$Z_5$

von/
nach

$M=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{5}&0&0&0\\[2pt]0&\frac{1}{5}&\frac{2}{5}&0&0\\[2pt]0&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&0\\[2pt]0&0&\frac{2}{5}&\frac{1}{5}&0\\[2pt]0&0&0&\frac{1}{5}&1\end{pmatrix}$

$\begin{array}[t]{r} \\ Z_1\\[5pt] Z_2\\[5pt] Z_3\\[5pt] Z_4\\[5pt] Z_5\\ \end{array}$

(1)

Erkläre aus dem Sachzusammenhang, wie sich die Übergangswahrscheinlichkeiten in der zweiten Spalte der Matrix $M$ ergeben.

(2)

Erstelle ein zur Matrix $M$ passendes Übergangsdiagramm.

(3)

Wenn der Spieler sein Spiel auf dem Feld $3$ beginnt, so ist es für ihn gleich wahrscheinlich, das Spiel zu gewinnen oder zu verlieren.
Erkläre anhand der Übergangswahrscheinlichkeiten ohne weitere Berechnung diese Tatsache.

(4 + 4 + 3 Punkte)

(1)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler, der sein Spiel auf dem Feld $3$ beginnt, nach höchstens zehn Drehungen des Glücksrades das Spiel gewinnt.

(2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler, der sein Spiel auf dem Feld $3$ beginnt, nach genau zehn Drehungen des Glücksrades das Spiel gewinnt.

(3)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Spiel nach höchstens fünf Drehungen beendet ist, wenn der Spieler auf dem Feld $2$ beginnt.

(4)

Ein Spieler beginnt das Spiel auf dem Feld $4.$ Der Spielbeginn wird durch den Vektor $\overrightarrow{s}$ beschrieben.

Für ein geeignetes $a \in \mathbb{N}$ gilt dann: $M^a \cdot \overrightarrow{s}= \pmatrix{\frac{48}{625}\\\frac{108}{625}\\\frac{156}{625}\\\frac{109}{625}\\\frac{204}{625}}=\pmatrix{0,0768\\0,1728\\0,2496\\0,1744\\0,3264}.$
Ermittle $a.$

(4 + 4 + 5 + 4 Punkte)

(1)

Vergleicht man für eine beliebige natürliche Zahl $n$ die Matrixpotenzen $M^{n}$ und $M^{n+1},$ so ist zu erkennen, dass alle Einträge in der ersten und in der fünften Zeile der Matrix $M^{n+{}1}$ größer oder gleich den entsprechenden Einträgen in der Matrix $M^{n}$ sind.

Erkläre diese Tatsache.
[Ein rechnerischer Nachweis dieser Tatsache ist nicht erforderlich.]

Für die Matrixpotenz $M^{100}$ gilt:

Vollständige Matrix anzeigen

$M^{100} \approx ...$

(2)

Interpretiere die vierte Spalte der Matrix $M^{100}$ im Hinblick auf die langfristige Entwicklung des Spieles.

Der Einsatz für ein Spiel hängt davon ab, auf welchem Feld ein Spieler beginnt. Gewinnt der Spieler, dann werden ihm $8 \,€$ ausgezahlt. Wenn er verliert, dann wird ihm nichts ausgezahlt, d.h. er hat seinen Einsatz verspielt.

(3)

Entscheidet sich der Spieler dafür, sein Spiel auf dem Feld $4$ zu beginnen, so beträgt sein Einsatz $5,50 \,€.$
Untersuche, ob ein Spieler, der jedes seiner Spiele auf dem Feld $4$ beginnt, langfristig Gewinn macht.

(4)

Der Einsatz für das Feld $2$ soll so festgesetzt werden, dass ein Spieler, der jedes seiner Spiele auf diesem Feld beginnt, langfristig weder Gewinn noch Verlust macht.
Ermittle den Einsatz für das Feld $2$ so, dass diese Bedingung erfüllt ist.

(4 + 3 + 3 + 2 Punkte)

(1)

Befindet sich die Figur auf dem Feld 2 (Zustand $Z_2$ ), ...

so wandert die Figur zum Feld 1 (Zustand $Z_1$ ), wenn bei der nächsten Drehung die Zahl 1 auftritt, was mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\dfrac{1}{5}$ passiert.
so bleibt die Figur auf dem Feld 2 (Zustand $Z_2$ ), wenn bei der nächsten Drehung die Zahl 2 auftritt, was mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\dfrac{1}{5}$ geschieht.
so wandert die Figur zum Feld 3 (Zustand $Z_3$ ), wenn bei der nächsten Drehung eine der Zahlen 3,4 oder 5 auftritt, was mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\dfrac{3}{5}$ passiert.

Es gibt keine Möglichkeit die Felder 4 und 5 (Zustände $Z_4$ und $Z_5$ ) von Feld 2 aus direkt zu erreichen.

(2)

Diagramm mit Zuständen Z1 bis Z5 und Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen ihnen.

(3)

Von der Mitte des Spielfeldes aus gesehen stimmen die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Spielfigur nach links wandert, mit den Wahrscheinlichkeiten überein, mit denen die Spielfigur nach rechts wandert. Auch die Wahrscheinlichkeiten, von den Spielfeldern 2 und 4 wieder zur Mitte des Spielfeldes zu gelangen, stimmen überein.
Daher ist es vom Feld 3 aus gleich wahrscheinlich, die Felder 1 und 5 zu erreichen und damit zu verlieren bzw. zu gewinnen.

(1)

$M^{10} \cdot \pmatrix{0\\0\\1\\0\\0}\left[\approx\pmatrix{0,3267\\0,0927\\0,1613\\0,0927\\0,3267}\right]\approx \pmatrix{... \\ ...\\... \\... \\ 0,3267}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler, der sein Spiel auf dem Feld 3 beginnt, nach höchstens zehn Drehungen des Glücksrades das Spiel gewinnt, beträgt ungefähr $0,3267= 32,67\;\text{%}.$

(2)

$M^{9} \cdot \pmatrix{0\\0\\1\\0\\0}\left[\approx\pmatrix{0,3085\\0,1046 \\ 0,1794 \\ 0,1046 \\ 0,3058}\right]\approx \pmatrix{ ... \\... \\ ...\\... \\ 0,3058}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler, der sein Spiel auf dem Feld 3 beginnt, nach genau zehn Drehungen des Glücksrades das Spiel gewinnt, beträgt ungefähr $0,3267-0,3058= 0,0209 \; [= 2,09\,\% ].$

(3)

$M^{5} \cdot \pmatrix{0\\1\\0\\0\\0}\left[\approx\pmatrix{0,3613 \\ 0,1347 \\ 0,2582 \\ 0,1344 \\ 0,1114}\right]\approx \pmatrix{ 0,3613\\ ...\\ ...\\... \\ 0,1114}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Spiel nach höchstens fünf Drehungen beendet ist, wenn der Spieler auf dem Feld 2 beginnt, beträgt ungefähr $0,3613+ 0,1114 =0,4727 \; [= 47,27\,\%].$

(4)

Da der Spieler auf dem Feld 4 beginnt, gilt $\overrightarrow{s}= \pmatrix{0\\0\\0\\1\\0}.$

Der Vergleich des Nenners $625 (=5^4)$ , der in den Wahrscheinlichkeiten $\dfrac{48}{625}, \dfrac{108}{625}, \dfrac{156}{625}$ und $\dfrac{204}{625}$ im Vektor auftritt, mit dem Nenner $5$ , der in den Übergangswahrscheinlichkeiten in der Matrix $M$ auftritt, lässt vermuten, dass $a=4$ gilt.

Die Berechnung $M^4 \cdot \pmatrix{0 \\0 \\0 \\1\\0}= \pmatrix{\frac{48}{625} \\ \frac{108}{625} \\ \frac{156}{625} \\ \frac{109}{625} \\ \frac{204}{625}}$ $= \pmatrix{0,0768 \\0,1728 \\0,2496 \\ 0,1744\\ 0,3264}$ bestätigt diese Vermutung.

(1)

Die Eintragungen in der ersten Zeile der Matrix $M^n$ bzw. $M^{n+1}$ sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ausgehend von dem Zustand $Z_1, Z_2, Z_3, Z_4$ bzw. $Z_5$ das Spiel nach $n$ bzw. $n + 1$ Drehungen in dem Zustand $Z_1$ ist, die Eintragungen in der fünften Zeile der Matrix $M^n$ bzw. $M^{n+1}$ sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ausgehend von dem Zustand $Z_1, Z_2, Z_3, Z_4$ bzw. $Z_5$ das Spiel nach $n$ bzw. $n + 1$ Drehungen in dem Zustand $Z_5$ ist. Da das Spiel nicht mehr in einen anderen Zustand übergehen kann, wenn es sich im Zustand $Z_1$ oder im Zustand $Z_5$ befindet $(Z_1$ und $Z_5$ sind absorbierende Zustände), können diese Wahrscheinlichkeiten mit zunehmender Spieldauer, also z. B. beim Übergang von $n$ zu $n + 1,$ nur größer werden oder gleich bleiben.

(2)

Die Übergangswahrscheinlichkeiten in der vierten Spalte beziehen sich auf ein Spiel, bei dem sich die Spielfigur auf dem Feld 4 befindet.
Langfristig befindet sich die Spielfigur dann mit großer Wahrscheinlichkeit nicht auf einem der Felder 2, 3 oder 4, d. h. das Spiel ist beendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel von Feld 4 aus langfristig verloren wird, beträgt $0,3750 [= 37,50\,\%],$ die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von Feld 4 aus beträgt $0,6250 [= 62,50\,\% ].$

(3)

Der Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel beträgt $0,625 \cdot 8 € = 5\,€$ , wenn der Spieler sein Spiel auf dem Feld 4 beginnt. Da der Einsatz pro Spiel $5,50 \,€$ beträgt, macht ein Spieler in diesem Fall langfristig Verlust.

(4)

Da der Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel $0,375 \cdot \,8 € =3 \,€$ beträgt, wenn ein Spieler sein Spiel auf dem Feld 2 beginnt, muss der Einsatz pro Spiel $3,00 \,€$ betragen.