Stochastik

In einem Land, in dem $80 \,\%$ der Erwachsenen einen Führerschein besitzen, werden 100 Erwachsene zufällig ausgewählt. Es soll angenommen werden, dass dabei die Anzahl der ausgewählten Erwachsenen, die einen Führerschein besitzen, binomialverteilt ist.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

$E_1: \;$ "Von den $100$ ausgewählten Personen haben genau $80$ Personen einen Führerschein."
$E_2 : \;$ "Von den $100$ ausgewählten Personen haben höchstens $75$ Personen einen Führerschein."

(2 Punkte)

Ermittle, wie groß die Anzahl der ausgwählten Erwachsenen mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens eine Person ohne Führerschein ist, mindestens $99 \,\%$ beträgt.

(4 Punkte)

In einer bestimmten Region des betrachteten Landes werden alle Fahrpürfungen eines Jahres auf einen möglichen Zusammenhang zwischem dem Alter eines Prüflings und dem Bestehen der Prüfung hin untersucht.

Von insgesamt 13.879 Prüflingen waren 2.482 zum Zeitpunkt der Prüfung mindestens 30 Jahre alt. Insgesamt haben 11.104 Prüflinge die Prüfung bestanden; davon waren 8.870 zum Zeitpunkt der Prüfung jünger als 30 Jahre.

Ein Prüfling wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$A$ : "Der Prüfling war zum Zeitpunkt der Prüfung mindestens 30 Jahre alt."
$B$ : "Der Prüfling hat die Prüfung bestanden."

Bestimme die Anzahl der Prüflinge, die zum Zeitpunkt der Prüfung jünger als $30$ Jahre waren und die Prüfung nicht bestanden haben.

(3 Punkte)

Untersuche, ob die Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P(B)$ übereinstimmen.

Gib an, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, und interpretiere deine Angabe im Sachzusammenhang.

(5 Punkte)

Besteht ein Prüfling bei der ersten Teilnahme nicht, nimmt er ein zweites Mal teil. Der Anteil der Prüflinge, die die Prüfung schon bei der ersten Teilnahme bestanden haben, ist $q$ .

Unter denjenigen, die zum zweiten Mal an der Prüfung teilnahmen, ist der Anteil der Prüflinge, die die Prüfung bestanden haben, nur halb so groß.

Der Anteil der Prüflinge, die die Prüfung spätestens bei der zweiten Teilnahme bestanden haben, beträgt $90 \,\%$ .

Berechne den Wert von $q$ .

(6 Punkte)

(20 Punkte)

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Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Personen mit Führerschein unter $100$ zufällig ausgewählten Personen und ist binomialverteilt mit $n = 100$ und $p = 0,8.$

Mit dem CAS können die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} P(E_1)&=& P(X=80) \\[5pt] &\approx& 0,0993 \\[5pt] &=& 9,93\,\% \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(E_2)&=& P(X\leq 75) & \\[5pt] &\approx& 0,1314 \\[5pt] &=& 13,14\,\% \\[10pt] \end{array}$

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die zufällige Anzahl der Personen ohne Führerschein unter $n$ zufällig ausgewählten Erwachsenen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n$ und $p = 0,2$ angenommen werden.

Gesucht ist das kleinstmögliche $n,$ für das gilt:

Rechenweg anzeigen

$n \approx 20,6$

Alternativer Lösungsweg

$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 1)&\geq & 0,99 \\[5pt] 1-P(X_n = 0)&\geq & 0,99 &\\[5pt] P(X_n=0)&\leq& 0,01 \\[5pt] \end{array}$

Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:

Für $n=20: P(X_n=0)\approx 0,0115 \gt 0,01$

Für $n=21: P(X_n=0)\approx 0,0092 \lt 0,01$

Es müssen also mindestens $21$ Erwachsene ausgewählt werden, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens eine Person ohne Führerschein ist.

Zur Übersicht kann beispielsweise eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm angelegt werden.

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Gesamt
$\color{#fff}{B}$	$2.234$	$8.870$	$11.104$
$\color{#fff}{\overline{B}}$	$248$	$2.527$	$2.775$
Gesamt	$2.482$	$11.397$	$13.879$

Gesucht ist die Anzahl von $\overline{A}\cap \overline{B}.$ Aus der Vierfeldertafel kann für diesen Wert eine Anzahl von 2.527 Prüflingen abgelesen werden.

Es waren folglich 2.527 Prüflinge zum Zeitpunkt der Prüfung jünger als $30$ Jahre und haben die Prüfung nicht bestanden.

Wahrscheinlichkeiten untersuchen

$P_A(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Prüfling, der mindestens $30$ Jahre alt ist, die Prüfung bestanden hat. Es waren 2.482 Prüflinge mindestens 30 Jahre alt. Aus der Vierfeldertafel aus Aufgabenteil d) kann abgelesen werden, dass davon 2.234 Prüflinge die Prüfung bestanden haben:

$P_A(B) = \dfrac{2.234}{2.482} \approx 0,9001 = 90,01\,\%$

Aus der Gesamtheit aller Prüflinge, also von den 13.870 Prüflingen, haben 11.104 Prüflinge die Prüfung bestanden:

$P(B)= \dfrac{11.104}{13.879} \approx 0,8001 = 80,01\,\%$

Die Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P(B)$ stimmen somit nicht überein.

Stochastische Unabhängigkeit prüfen und interpretieren

Da $P_A(B)$ und $P(B)$ nicht übereinstimmen, ist die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen der Prüfung für Prüflinge ab $30$ Jahren eine andere als die allgemeine Wahrscheinlichkeit für das Bestehen der Prüfung. Damit stimmen auch die Wahrscheinlichkeiten für das Bestehen der Prüfung von Prüflingen ab $30$ Jahren und unter $30$ Jahren nicht überein.

Die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen der Prüfung ist also abhängig davon, ob ein Prüfling bereits mindestens $30$ Jahre alt oder jünger als $30$ Jahre ist.

Die beiden Ereignisse $A$ und $B$ sind daher nicht stochastisch unabhängig.

$B_1$ bezeichnet das Ereignis, dass ein Prüfling bei der ersten Teilnahme besteht und $B_2$ das Ereignis, dass ein Prüfling bei der zweiten Teilnahme besteht. Es kann nun folgendes Baumdiagramm erstellt werden:

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(B_1) + P(B_2) &=& 0,9 \\[5pt] q + (1-q)\cdot \dfrac{q}{2} &=& 0,9 \\[5pt] q + \dfrac{q}{2} - \dfrac{q^2}{2}&=& 0,9 \\[5pt] \dfrac{3}{2}q -\dfrac{1}{2}q^2 &=& 0,9 &\quad \scriptsize \mid\; -0,9 \\[5pt] \dfrac{3}{2}q -\dfrac{1}{2}q^2 -0,9 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] q^2 -3q + 1,8 &=& 0 & \\[5pt] \end{array}$

Die $pq$ -Formel liefert:

$\begin{array}[t]{rll} q_{1/2}&=& -\dfrac{(-3)}{2}\pm \sqrt{\left( \dfrac{(-3)}{2}\right)^2 -1,8} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2}\pm \sqrt{\dfrac{9}{20}} \\[10pt] q_1 &=& \dfrac{3}{2}- \sqrt{\dfrac{9}{20}} \\[5pt] &\approx& 0,8292 \\[10pt] q_2 &=& \dfrac{3}{2}+ \sqrt{\dfrac{9}{20}} \\[5pt] &\approx& 2,1708\\[5pt] \end{array}$

Da der Anteil der Prüflinge, die die Prüfung bei der ersten Teilnahme bestehen, nicht größer als $1=100\,\%$ sein kann, kann nur $q_1\approx 0,8292 = 82,92\,\%$ der Wert für $q$ sein.

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