Aufgabe 1

Flüsse treten manchmal über ihre Ufer. Zur Vermeidung solcher Überschwemmungen werden große Wasserbecken eingesetzt, sogenannte Rückhaltebecken. Droht eine Überschwemmung, so wird ein Teil des Flusswassers in das Rückhaltebecken geleitet. Dort wird das Wasser zunächst zurückgehalten und später kontrolliert in den Fluss geleitet.

Im Folgenden soll zunächst der Zufluss in und anschließend der Abfluss des Wassers aus einem Rückhaltebecken betrachtet werden.

Zur Modellierung der momentanen Zuflussrate, mit der das Wasser des Flusses während eines Beobachtungszeitraumes von $40$ Stunden in das Rückhaltebecken fließt, wird für $0\leq t\leq 40$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(t)=7200\cdot t^2\cdot \mathrm e^{-0,25\cdot t}$ , mit $t\in \mathbb{R},$

verwendet. Dabei ist $t$ die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Stunden und $f(t)$ die momentane Zuflussrate in $m^3$ Wasser pro Stunde.

In der folgenden Abbildung 1 ist der Graph von $f$ im Intervall $[0;40]$ dargestellt.

Abbildung 1

(1)

Gib den Funktionswert von $f$ an der Stelle $t=20$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2)

Weise rechnerisch nach, dass die momentane Zuflussrate im Modell $8$ Stunden nach Beobachtungsbeginn maximal ist, und gib die maximale momentane Zuflussrate an.

(3+7 Punkte)

Ermittle, wie viel Wasser im Beobachtungszeitraum von $40$ Stunden in das Rückhaltebecken fließt.

(4 Punkte)

Die momentane Abflussrate vom Rückhaltebecken in den Fluss im Beobachtungszeitraum wird für $0\leq t\leq 40$ durch die Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(\mathrm{t})=540\cdot t^{3}\cdot e^{-0,25\cdot \mathrm{t}}$ , mit $t\in R,$

modelliert. Dabei ist $g(\mathrm{t})$ die momentane Abflussrate in $\mathrm{m}^{3}$ Wasser pro Stunde.

(1)

Ermittle das Zeitintervall im Beobachtungszeitraum, in dem die momentane Abflussrate größer als $40\,\ 000\;\mathrm{m}^{3}$ Wasser pro Stunde ist.

(2)

Bestimme den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, zu dem die momentane Abflussrate am stärksten zunimmt.

(3)

Bestimme den Zeitpunkt, bis zu dem seit Beobachtungsbeginn $50\,\ 000\;\mathrm{m}^{3}$ Wasser aus dem Becken fließen.

(4 + 5 + 4 Punkte)

Der Graph von $f$ und der Graph von $g$ sind in der Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

Die Funktion $d$ ist durch die Gleichung $d(t)=f(t)-g(t)$ gegeben.

(1)

Gib $d(10)$ und $d(20)$ an und interpretiere die beiden Werte im Sachzusammenhang.

(2)

Ermittle anhand von Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, bis zu dem die Wassermenge im Rückhaltebecken zunimmt und begründe dein Vorgehen.

(3)

Bestimme $\displaystyle \int_{0}^{40}d(\mathrm{t})\mathrm{d}\mathrm{t}$ und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(5 + 4 + 4 Punkte)

(1)

$f(20) \approx 19405,3$

$20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Zuflussrate, mit der das Wasser in das Rückhaltebecken fließt, ca. $19405,3 \, \text{m}^3$ pro Stunde.

(2)

Die Zuflussrate soll nach $8$ Stunden maximal sein, das heißt, es muss ein Hochpunkt bestimmt werden:

Anwenden der Produkt- und Kettenregel:

$\(f$
$\(f$

$\(f$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 7200 \cdot (-0,25 t^2 +2t) \mathrm e^{-0,25t}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$

Nun kannst du $t$ mit dem solve-Befel des TR bestimmen. Es ist $t=0$ und $t=8.$
Einsetzen der beiden Werte für $t$ in die Gleichung, um die passenden $y$ -Koordinaten zu erhalten und den gesuchten Hochpunkt zu bestimmen.

$f(0)=0$ und $f(8)\approx 62362,5$ .

Somit ist der gesuchte Hochpunkt bei $t=8$ . Also $8$ Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die momentane Zuflussrate mit ca. $62362,5 \, \text{m}^3$ am größten. Dies passt auch mit dem Graphen der Funktion $f$ in der Abbildung zusammen.

Integration mithilfe des TR:

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menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\displaystyle\int_{0}^{40}f(t)\;\mathrm dt \approx 919048$

Es fließen ca. $919048 \; \text{m}^3$ während des gesamten Beobachtungszeitraumes in das Becken.

(1)

Auflösen der Gleichung $g(t)\geq 40000$ nach $t$ mit dem solve-Befehl des TR:

$t_1\approx 8,6, \, \, \, t_2\approx 16,2$ .

Das gesuchte Intervall ist folglich $[8,6; \, 16,2]$ .

(2)

Bestimmen des gesuchten Wendepunktes von $g$ mithilfe des TR:

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menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Der globale Hochpunkt des Graphen von $\(g$ hat die Koordinaten $H(5,07 / 6770)$ .

Die momentane Zuflussrate ist folglich nach ca. $5,07$ Stunden am größten.

(3)

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem solve-Befehl des TR ergibt sich: $t\approx -3,65$ und $t\approx 5,83$ . Das heißt, dass bis zum Zeitpunkt $t\approx 5,83$ (nur dieser liegt im Intervall) $50000 \,\text{m}^3$ Wasser aus dem Rückhaltebecken fließen.

(1)

Die Werte lauten:

$d(10) \approx 14775,3$ und $d(20)=-9702,6$

$10$ Stunden nach Beobachtungsbeginn nimmt die Wassermenge im Rückhaltebecken mit einer Rate von ca. $14775,3 \,\text{m}^3$ pro Stunde zu. Nach $20$ Stunden nimmt die Wassermenge mit einer Rate von ca. $9703 \,\text{m}^3$ pro Stunde ab.

(2)

Die Wassermenge im Rückhaltebecken nimmt bei $t\approx 13$ zu, da ab diesem Zeitpunkt der Graph von $f$ oberhalb des Graphen von $g$ verläuft. Die momentane Zuflussrate ist größer als die momentane Abflussrate.

(3)

Lösen des Integrals mit dem TR:

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menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\displaystyle\int_{0}^{40}d(t)\;\mathrm dt =98180,9$

Vollständige Lösung anzeigen

Zum Ende des Beobachtungszeitraumes befinden sich ca. $98180,9 \,\text{m}^3$ Wasser mehr im Becken als zu Beginn.