Teil A1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 -x$ .

(1)

Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.

Grafik einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen für x und y.

Graf einer mathematischen Funktion mit den Achsen x und y.

Grafik eines mathematischen Koordinatensystems mit x- und y-Achse.

Abbildung 1

Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe.

(2)

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen.

Hinweis: Die Nullstellen dürfen dabei der obigen Abbildung 1 entnommen werden.

(2 + 3 Punkte)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2)\cdot\mathbb{e}^{-x+4}$ , $x\in\mathbb{R}$ .

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Graph einer Funktion f(x) mit Achsenbeschriftungen für f und x.

Abbildung 2

(1)

Die Funktion $f$ besitzt genau eine Extremstelle.

Ermittle die Extremstelle von $f.$

Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.

(2)

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f.$

Hinweis: Die Größe der $y$ -Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben.

(3 + 2 Punkte)

Für jedes a $\in\mathbb{R}$ ist durch die Gleichung

$f_a(x)=(x+2)(2x+a)\mathbb{e}^x$ , $x\in\mathbb{R}$ ,

eine Funktion $f_a$ gegeben.

(1)

Gib die Nullstellen der Funktion $f_1$ mit $f_1(x)=(x+2)(2x+1)\mathbb{e}^x$ an.

(2)

In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion $f_a$ für ein konkretes $a$ abgebildet.

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$ .

Graf einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Abbildung 3

(3)

Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P(3\mid40\mathbb e^3)$ auf dem Graphen der Funktion $f_a$ liegt.

(1 + 2 + 2 Punkte)

Gegeben sind die Punkte $A$ und $B$ mit den Koordinaten $A(3\mid4\mid2)$ und $B(8\mid-11\mid12)$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung

$g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{6,5\\-6,5\\9}+r\cdot\pmatrix{-7\\21\\-14}$ , $r\in\mathbb{R}$ .

(1)

Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.

(2)

Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt.

Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander.

(3)

Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.

(1 + 3 + 1 Punkte)

Gegeben sind die Punkte $A(5\mid 0\mid z )$ und $B (2\mid4\mid5)$ .

Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

(1)

Bestimme denjenigen Wert von $z,$ für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben.

(2)

Ermittle denjenigen Wert von $z,$ für den das Dreieck $OAB$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist.

(3 + 2 Punkte)

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(1)

Der Verlauf des Graphens richtet sich immer nach dem höchsten Exponenten.
Die Graphen II und III kommen nicht infrage, denn Graph III stellt keine ganzrationale Funktion dar und Graph II entspricht dem Graphen der Funktion $-f(x).$

(2)

Der Graph von $f$ schließt mit der $x$ -Achse zwei gleich große Flächen ein. Da Graph I punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, reicht es, nur eine der beiden eingeschlossenen Flächen zu berechnen und diese dann zu verdoppeln.

$2\cdot\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\;\mathrm dx$ $=2\cdot\displaystyle\int_{-1}^{0}\left(x^3-x\right)\;\mathrm dx$ $=2\cdot\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0=2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{1}{2}$

(1)

$f(x)= (x+2) \cdot \mathrm{e}^{-x+4}$

1. Schritt: Ableitung bilden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da $\mathrm{e}^{-x+4} \neq 0$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt $-x-1=0$ und somit ergibt sich $x=-1$ als Extremstelle von $f.$

(2)

Graphen von f(x) und f'(x) mit Achsenbeschriftungen.

(1)

Nullstellen angeben

$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (x+2)(2x+1)\cdot \mathrm e^x &=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Es ist $\mathrm e^x \neq 0.$ Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x+2=0$ oder $2x+1=0.$

Daraus folgt die erste Nullstelle mit $x_1= -2$ und die zweite mit:

$\begin{array}[t]{rll} 2x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \mid\;:2 \\[5pt] x_2&=& -\dfrac{1}{2} \end{array}$

(2)

1. Schritt: Nullstellen von $f_a$ angeben

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (x+2)(2x+a)\cdot \mathrm e^x &=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Es ist $\mathrm e^x \neq 0.$ Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x+2=0$ oder $2x+a=0.$ Die Nullstellen von $f_a$ folgen daraus mit $x_{1}= -2$ und $x_2= -\dfrac{a}{2}.$

2. Schritt: Nullstellen der Abbildung