Analysis 2

Die folgenden Tabellen zeigen die Entwicklung der Weltbevölkerung über einen Zeitraum von 60 Jahren.

Entwicklung der Weltbevölkerung von 1960 bis 1985

Jahr	Weltbevölkerung (Milliarden Menschen, gerundet auf zwei Nachkommastellen)
$1960$	$3,03$
$1965$	$3,32$
$1970$	$3,68$
$1975$	$4,06$
$1980$	$4,44$
$1985$	$4,85$

Entwicklung der Weltbevölkerung von 1985 bis 2020

Jahr	Weltbevölkerung (Milliarden Menschen, gerundet auf zwei Nachkommastellen)
$1985$	$4,85$
$1990$	$5,31$
$1995$	$5,74$
$2000$	$6,13$
$2005$	$6,52$
$2010$	$6,93$
$2015$	$7,35$
$2020$	$7,78$

Zeige anhand der Tabellenwerte, dass die Entwicklung der Weltbevölkerung im Zeitraum von 1960 bis 1985 als exponentieller Wachstumsprozess modelliert werden kann.

(3 Punkte)

Ein Wissenschaftler schlägt vor, die Entwicklung der Weltbevölkerung durch die Funktion $f$ mit $f(t)=3,02\cdot \mathrm e^{0,019\cdot t}\;$ ( $f(t)$ in Milliarden Menschen, Zeit $t$ in Jahren nach Beginn des Jahres 1960) zu modellieren.

Bestimme die Weltbevölkerung, die der Wissenschaftler bei dieser Modellierung für den Beginn des Jahres 2020 prognostiziert.

Vergleiche das Ergebnis mit der in der Tabelle prognostizierten Weltbevölkerung zu diesem Zeitpunkt.

(3 Punkte)

Begründe, dass bei der Modellierungsfunktion $f$ die Weltbevölkerung kontinuierlich und mit wachsender Geschwindigkeit zunimmt.

Ermittle den Zeitpunkt, ab dem die momentane Wachstumsrate den Wert von 80 Millionen Menschen pro Jahr übersteigt.

(6 Punkte)

Berechne den Wert des Terms $\displaystyle \dfrac{1}{20}\cdot\int_{5}^{25}3,02\cdot \mathrm e^{0,019\cdot t}dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 Punkte)

Ein alternativer Modellierungsvorschlag geht davon aus, dass sich die momentane Änderungsrate der Bevölkerungsentwicklung durch eine Funktion $\(g$ mit $\(g$ modellhaft beschreiben lässt ( $t$ in Jahren nach Beginn des Jahres 1960).

Für den Beginn des Jahres 1985 geht man von einer momentanen Änderungsrate von 0,0891 Milliarden Menschen pro Jahr aus, während für den Beginn des Jahres 2020 nur noch eine Änderungsrate von 0,078 Milliarden Menschen pro Jahr angenommen wird.

Berechne auf dieser Grundlage die Werte der Parameter $d$ und $k$ und gib die Funktionsgleichung von $\(g$ an.

(6 Punkte)

Im Folgenden soll die momentane Änderungsrate der Weltbevölkerung durch die Gleichung $\(g$ beschrieben werden.

Berechne eine Funktionsgleichung der Funktion $g$ so, dass der Funktionswert von $g$ für den Beginn des Jahres 1985 mit dem Tabellenwert dieses Jahres übereinstimmt.

$[$ zur Kontrolle: $g(t)=27,02-24,5\cdot \mathrm e^{-0,004\cdot t} ]$

(4 Punkte)

Untersuche anhand des Funktionsterms von $g$ , wie sich die Weltbevölkerung nach diesem Modell langfristig entwickelt.

(2 Punkte)

Gib an, welche der beiden Funktionen $f$ und $g$ sich für die Zeit bis zum Beginn des Jahres 1980 besser zur Modellierung der Weltbevölkerungsentwicklung eignet und welche für die Zeit ab Beginn des Jahres 1985 besser geeignet ist.

(3 Punkte)

Es gilt: $f(t)\gt g(t)$ für alle $t\in\mathbb{R}$

Für den Übergang von der einen Modellfunktion zur anderen soll derjenige Zeitpunkt betrachtet werden, zu dem sich die Funktionswerte von $f$ und $g$ am wenigsten unterscheiden.

Bestimme diesen Zeitpunkt.

(4 Punkte)

(35 Punkte)

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Es gilt:

1960-1965 : $\dfrac{3,32}{3,02} \approx 1,099$
1965-1970 : $\dfrac{3,68}{3,32} \approx 1,103$
1970-1975 : $\dfrac{4,06}{3,68} \approx 1,108$
1975-1980 : $\dfrac{4,44}{4,06} \approx 1,094$
1980-1985 : $\dfrac{4,85}{4,44} \approx 1,092$

Da die 5 Quotienten annähernd konstant sind, kann die Entwicklung der Weltbevölkerung von 1960 bis 1985 als exponentieller Wachstumsprozess dargestellt werden.

Für das Jahr 2020 gilt $t=60$ :

$f(60)=3,02\cdot \mathrm{e}^{0,019\cdot60}=9,44$

Für den Anfang von 2020 wird somit eine Weltbefölkerung von $9,44$ Milliarden Menschen prognostiziert. Dies weicht stark von den in der Tabelle angegebenen $7,78$ Milliarden Menschen ab.

Es gilt:

$\( f$

Hieraus folgt, dass $\(f$ für alle $t$ größer als Null ist, sodass die Funktion $f(t)$ streng monoton steigend ist. Da es sich bei $f(t)$ um eine Exponentialfunktion handelt, wächst die Weltbevölkerung mit steigender Geschwindigkeit.

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Solve-Befehl des CAS ergibt sich $t\approx 17,49.$

$1960+17=1977$

Im Jahr 1987 übersteigt die momentane Wachstumsrate den Wert von 80 Millionen Menschen pro Jahr.

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{20} \cdot \displaystyle\int_{5}^{25}3,02 \cdot \mathrm e^{0,019 \cdot t}\;\mathrm dt\approx 4,04$

Das Ergebnis gibt eine durchschnittliche Bevölkerungszahl von $4,04$ Milliarden Menschen für die Jahre 1965 bis 1985 an.

Die momentane Änderungsrate im Jahr 1985, also bei $t=25$ hat den Wert $0,0891.$ Hieraus folgt $\(g$

Für das Jahr 2020 gilt $\(g$

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $k \approx -0,0038$

Für $d$ folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} d&=& \dfrac{0,078}{\mathrm e^{k\cdot 60}} &\quad \scriptsize \mid\; k \approx -0,0038 \\[5pt] &\approx& 0,098 \end{array}$

Somit lautet die Funktionsgleichung:

$\(g$

$\begin{array}[t]{rll} g(t) &=& \displaystyle\int 0,098 \cdot \mathrm e^{-0,004 \cdot t} \;\mathrm dt + c \\[5pt] &=& \left[\dfrac{0,098}{-0,004} \cdot \mathrm e^{-0,004 \cdot t} \right] +c \\[5pt] &=& -24,5 \cdot \mathrm e^{-0,004 \cdot t} +c \end{array}$

Mit $t=25$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} -24,5\cdot \mathrm e^{-0,004 \cdot 25} +c&=&4,85 &\quad \scriptsize \\[5pt] -24,5\cdot \mathrm e^{ -0,1} +c&=&4,85 &\quad \scriptsize \\[5pt] -22,17\cdot 1 +c&=&4,85 &\quad \scriptsize \mid +22,17\\[5pt] c&=&27,02 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Somit ergibt sich für die Funktion $g:$

$g(t)=-24,5\cdot ^{-0,004\cdot t}+27,02$

Betrachtung von $g(t)$ für $t\rightarrow \infty:$

Da der Ausdruck $-22,275\cdot \mathrm e^{-0,004 \cdot t}$ für $t\rightarrow \infty$ gegen Null geht, strebt die gesamte Funktion $g(t) = 27,02-22,275 \cdot \mathrm e^{-0,004 \cdot t}$ für $t\rightarrow \infty$ gegen $27,02 -0 = 27,02.$

Alternativ kann der Ausdruck $\lim\limits_{t\to\infty}-22,275\cdot \mathrm e^{-0,004 \cdot t}+27,02$ mit dem CAS gelöst werden.

Hieraus folgt, dass sich die Weltbevölkerung nach diesem Modell immer weiter dem Wert $27,02$ Milliarden Menschen annähert.

Tabellen anzeigen

Jahr	$1960$	$1965$	$1970$	$1975$	$1980$	$1985$
Weltbevölkerung (Milliarden Menschen, gerundet auf zwei Nachkommastellen)	$3,02$	$3,32$	$3,68$	$4,06$	$4,44$	$4,85$
$\color{#fff}{f(t)=3,02\cdot \mathrm e^{0,019t}}$	$3,02$	$3,32$	$3,65$	$4,02$	$4,42$	$4,86$
$\color{#fff}{g(t)=27,02-24,5\cdot \mathrm e^{-0,004t}}$	$2,52$	$3,01$	$3,48$	$3,95$	$4,40$	$4,85$

Jahr	$1985$	$1990$	$1995$	$2000$	$2005$	$2010$	$2015$	$2020$
Weltbevölkerung (Milliarden Menschen, gerundet auf zwei Nachkommastellen	$4,85$	$5,31$	$5,74$	$6,13$	$6,52$	$6,93$	$7,35$	$7,78$
$\color{#fff}{f(t)=3,02\cdot \mathrm e^{0,019t}}$	$4,86$	$5,34$	$5,87$	$6,46$	$7,10$	$7,81$	$8,59$	$9,44$
$\color{#fff}{g(t)=27,02-24,5\cdot \mathrm e^{-0,004t}}$	$4,85$	$5,29$	$5,72$	$6,14$	$6,56$	$6,96$	$7,36$	$7,75$

Durch das Einsetzen der Werte für die gegebenen Jahre stellt sich heraus, dass sich die Funktion $f$ für die Zeit bis zum Beginn des Jahres 1980 besser zur Modellierung der Weltbevölkerungsentwicklung eignet.

Dementsprechend eigenet sich die Funktion $g$ für die Zeit ab Beginn des Jahres 1985 besser.

Für den Abstand $h$ der beiden Funktionen $f$ und $g$ gilt:

$h(t)=f(t)-g(t)$

Vollständige Rechnung anzeigen

Bestimmung des lokalen Tiefpunktes der Funktion $h$ :

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

Mit dem fMin-Befehl kann die Stelle $t\in[23,27],$ an der der Funktionswert von $h$ am kleinsten ist, berechnet werden.

$\text{fMin(h(t);t;23,27)}$

$x_{\text{min}} = 23,27$

Der zugehörige Funktionswert lässt sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:

$\begin{array}[t]{lll} d(23,27)&\approx& 0\\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Mit dem fMin-Befehl kann der kleinste Funktionswert von $h$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $x_{\text{min}}$ berechnet werden.

$\text{fMin(h(x),x,23,27)}$

$\begin{array}[t]{rll} h(23,27)&\approx& 0\\[5pt] \end{array}$

$1960+23,27=1983,27$

Zum Zeitpunkt $t=23,27$ unterscheiden sich die Funktionswerte von $f$ und $g$ am wenigsten. Dieser Zeitpunkt entspricht dem Jahr 1983.

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