Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Diagramm einer Brücke mit Bauteilen und Höhenangaben.

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{20}x^4-\dfrac{2}{5}x^2+1$ beschrieben werden.

Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$ -Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Begründe, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist.

(1 Punkt)

Bestimme rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke (vgl. Abbildung).

[Kontrolllösung: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$ -Koordinate $2.$ ]

(5 Punkte)

Gib die Bedeutung des Terms $\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang an und bestimme seinen Wert.

(2 Punkte)

Bestimme die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist.

(2 Punkte)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_a$ mit $q_a(x)=0,8-a\cdot x^2$ mit $a\in\mathbb{R}$ , $a\gt0$ beschrieben werden.

In der Abbildung ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils mit $s$ bezeichnet.

Bestimme den Wert von $a,$ für den $s = 0,1 \,\text{dm}$ gilt.

(3 Punkte)

Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen.

(2 Punkte)

Für die Brücke gilt $a = 1,25$ . Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt;
$1\,\text{dm}^3$ des Holzes hat eine Masse von $800$ Gramm. Die Brücke ist $0,4\,\text{dm}$ breit.

Bestimme die Nullstellen von $q_{1,25}$ und ermittle die Masse des mittleren Bauteils.

(5 Punkte)

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$f(x)$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit ausschließlich geraden Exponenten. Deshalb ist der Graph von $f$ und somit die obere Randlinie achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Höhe der Brücke bestimmen

$f(0) =1$

Die Höhe der Brücke entspricht $1 \;\text{dm}.$

Länge der Brücke bestimmen

Um die Länge der Brücke zu bestimmen, müssen die $x$ -Koordinaten der Tiefpunkte bestimmt werden.

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0$ oder $\dfrac{1}{5}x^2 - \dfrac{4}{5}=0.$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{5} x^2 - \dfrac{4}{5}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{4}{5}\\[5pt] \dfrac{1}{5}x^2 &=& \dfrac{4}{5} &\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{1}{5} \\[5pt] x^2&=&4 \end{array}$

Daraus folgen $x_2=2$ und $x_3=-2$ als weitere Extremstellen.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(f$

Die Tiefpunkte des Graphen von $f$ liegen also an den Stellen $x_2=2$ und $x_3=-2.$

Der Abstand der $x$ -Koordinaten der Tiefpunkte beträgt $4 \;\text{LE}$ und somit beträgt die Länge der Brücke $4 \;\text{dm}.$

Es ist $\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=$ $-0,45.$

Im Sachzusammenhang entspricht $-0,45$ der durchschnittlichen Steigung des rechten Bauteils.

Die größte Steigung der Brücke entspricht dem Wert des Maximums der ersten Ableitung.

Mit dem TR wird zunächst die erste Ableitung bestimmt und dann graphisch das Maximum ermittelt.

$\(f$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Der Hochpunkt vom Graphen von $\(f$ hat die Koordinaten $(-1,155 \mid 0,616).$

Die größte Steigung, die beim Fahren zu Überwinden ist, entspricht also $\(f$

Für den Fall, dass die Länge der Bodenfläche des mittleren Bauteils genau $0,1 \;\text{dm}$ beträgt, hat der Graph von $q_a$ eine Nullstelle bei $x=-0,9.$ Damit lässt sich der Wert für $a$ wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} q(-0,9) &= & 0 \\[5pt] 0,8-a\cdot (-0,9)^2&= & 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des TR ergibt sich $a= \dfrac{80}{81}$ $\approx 0,988.$

Für $a \in \mathbb R,$ $a \gt 0$ ist der Graph von $q_a$ eine nach unten geöffnete Parabel. Wenn der Wert von $a$ vergrößert wird, dann veringert sich der Abstand der Nullstellen und somit wird die Länge $s$ größer. Daraus folgt, dass die Länge $s$ für $a \geq 0,988$ mindestens $0,1 \;\text{dm}$ lang ist.

Je größer der Wert von $a$ ist, desto schmaler ist der Graph von $q$ und damit die Durchfahrt der Brücke. Wird der Wert von $a$ zu groß, so kann kein Zug mehr hindurchfahren.

Es gilt: $q_{1,25}= 0,8- 1,25\cdot x^2.$

1. Schritt: Schnittstelle der Parabel $q_{1,25}$ mit der $x$ -Achse bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} q(x) &= & 0 & \quad \scriptsize \\[5pt] 0,8-1,25\cdot x^2 &= & 0 & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des TR folgt $x_1= -0,8$ und $x_2=0,8.$

2. Schritt: Flächeninhalt der Längsschnittfläche berechnen

Der Wert des Flächeninhalts der Längsschnittfläche des mittleren Bauteils kann mit dem folgenden Integral berechnet werden:

$A= \displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\;\mathrm dx -\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}q_{1,25}(x)\;\mathrm dx$

Der Wert des Integrals wird mit dem TR berechnet.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

Daraus folgt der Flächeninhalt der Seitenfläche mit $A=0,9 \,\text{dm}^2.$

3. Schritt: Masse berechnen

Mit dem Flächeninhalt der Längsschnittfläche des mittleren Bauteils, der Breite der Brücke und der Masse des Holzes pro Kubikdezimeter, folgt die Masse des mittleren Bauteils mit:

$0,9 \,\text{dm}^2 \cdot 0,4 \,\text{dm} \cdot \dfrac{800 \,\text{g}}{1 \,\text{dm}^3}=288 \,\text{g}$

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