Teil A: Ohne Hilfsmittel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x.$
Bestimme alle Nullstellen von $f$ und gib die Bereiche an, in denen der Graph von $f$ oberhalb der $x$ -Achse verläuft.

(6 Punkte)

Gegeben sind die beiden in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=\mathrm e^x+\frac{1}{2}x+1$ und $g(x)=\frac{1}{2}x.$
Die Graphen der beiden Funktionen sind in Abbildung 1 dargestellt.

(1)

Begründe, dass der Graph von $f$ und der Graph von $g$ keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

(2 Punkte)

(2)

Bestimme den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von $f$ und $g,$ der $y$ -Achse und der parallel zur $y$ -Achse verlaufenden Geraden mit der Gleichung $x=1$ eingeschlossen wird.

(4 Punkte)

Abb. 1

Gegeben sind die Geraden

$g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r\in \mathbb{R}$ und $h: \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\-3\\3} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\3}$ mit $s\in \mathbb{R}.$

(1)

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ an.
Zeige, dass $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen.

(2 Punkte)

(2)

Die Ebene $E$ enthält die Geraden $g$ und $h.$
Prüfe, ob der Punkt $P(7\mid -3\mid 5)$ in $E$ liegt.

(4 Punkte)

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$ .

(1)

Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.

Abbildung 2

Abbildung 3

Abbildung 4

Begründe, warum Abbildung 2 und Abbildung 4 nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellen.

(4 Punkte)

(2)

Ermittle aus der zugehörigen Abbildung näherungsweise den Wert der Wahrscheinlichkeit $P(6\leq X\leq 8).$

(2 Punkte)

$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2 &=& -3 \\[5pt] x_3&=& 3 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstellen von $f$ sind $x_1 =0,$ $x_2=-3$ und $x_3 =3.$

$\blacktriangleright$ Bereiche angeben

Da sich das Vorzeichen von $f(x)$ nur in den Nullstellen ändern kann, muss es zwischen zwei benachbarten Nullstellen gleich sein.

Für $x\to -\infty$ gilt $f(x) \to -\infty,$ für $x\lt -3$ verläuft der Graph von $f$ also unterhalb der $x$ -Achse.
Für $x\to \infty$ gilt $f(x) \to \infty,$ für $x\gt 3$ verläuft der Graph von $f$ also oberhalb der $x$ -Achse.

$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& \frac{8}{3} \\[10pt] f(1)&=& -\frac{8}{3} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ verläuft also für $-3\lt x \lt 0$ und $x\gt 3$ oberhalb der $x$ -Achse.

(1)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass es keinen gemeinsamen Punkt gibt

$... \mathrm e^x = -1$

Vollständige Lösung anzeigen

Da $\mathrm e^x$ nicht negativ werden kann, besitzt die Gleichung $f(x)=g(x)$ also keine Lösung. Die beiden Graphen von $f$ und $g$ können daher keine gemeinsamen Punkte besitzen.

(2)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Der gesuchten Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals über der Differenzenfunktion $f-g$ berechnet werden:

$A = \mathrm e$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Inhalt der beschriebenen Fläche beträgt $\mathrm e$ Fächeneinheiten.

(1)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts angeben

Die beiden Stützvektoren von $g$ und $h$ stimmen überein. Dieser beschreibt die Koordinaten eines Punkts auf der jeweiligen Geraden. Die beiden Geraden $g$ und $h$ haben also den gemeinsamen Punkt $P(3\mid -3\mid 3).$

$\blacktriangleright$ Senkrechten Verlauf zeigen

Die Geraden verlaufen senkrecht zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander verlaufen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.

$... = 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Die beiden Geraden verlaufen also senkrecht zueinander.

(2)

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt

1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen

Ein Normalenvektor von $E$ kann über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden bestimmt werden:

$\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\-10\\0}$

Vollständige Lösung anzeigen

Du kannst den Stützpunkt der beiden Geraden $(3\mid -3\mid 3)$ für eine Punktprobe verwenden:

$d=30$

Vollständige Lösung anzeigen

Eine Gleichung in Koordinatenform von $E$ lautet:

$E:\quad -10x_2 = 30$

2. Schritt: Punktprobe durchführen

Prüfe, ob die Koordinaten von $P$ die Ebenengleichung erfüllen:

$30=30$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten von $P$ erfüllen also die Ebenengleichung von $E.$ Der Punkt $P$ liegt daher in $E.$

(1)

$\blacktriangleright$ Abbildungen ausschließen

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$ . Folgende Diagramme stellen nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar:

Abbildung 2: Wegen $n=10$ kann die Wahrscheinlichkeit $P(X\gt 10)$ nicht größer als null sein.
Abbildung 4: Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten genau $1$ ergeben. Die hier dargestellten Wahrscheinlichkeiten für $k=8$ und $k=9$ sind in Summe bereits größer als 1, deshalb ist hier keine Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit ermitteln

Lies die Werte für $X=6,$ $X=7$ und $X=8$ aus der Abbildung ab und addiere sie:

$... \approx 0,59$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit $P(6\leq X \leq 8)$ beträgt ca. $0,59=59\,\%.$