Aufgabe 4

Ein Team eines Instituts für Tourismus führte bei 10000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 Urlaub gemacht hatten, eine repräsentative Befragung durch. Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen und Fragestellungen auf diese Region. Von den Befragten wurde für jede Urlaubsreise ein Fragebogen ausgefüllt, mit dem u. a. ermittelt wurde, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen angereist waren. Dabei ergab sich folgendes Bild: $26 \%$ der Urlaubsreisen gingen ins Inland (kurz: Inlandsreisen), davon wurde in $16 \%$ der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt. Unter den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) erfolgte die Anreise in $10 \%$ der Fälle mit der Bahn.

Diese Prozentsätze werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse verwendet.

(1)

Stelle die Situation in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(2)

Bei einer Urlaubsreise im Jahr 2019 wurde die Bahn zur Anreise genutzt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Inlandsreise handelte.

(3 + 2 Punkte)

Die Befragung soll ergänzt werden. Dazu werden 20 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig ausgewählt, um mit den Befragten Interviews zu führen.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Inlandsreisen unter den 20 Urlaubsreisen an.

(1)

Erläutere, warum für $0 \leq k \leq 20$ zur Berechnung von $P(X=k)$ in guter Näherung eine Binomialverteilung verwendet werden kann.

(2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind.

(3)

Bestimme für die 20 Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Inlandsreisen in der $2 \sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt.

(2 + 2 + 4 Punkte)

Bestimme, wie viele Fragebögen mindestens ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 \%$ auf mindestens fünf der Fragebögen angegeben wird, dass eine Auslandsreise erfolgte.

(3 Punkte)

Das Team des Instituts für Tourismus hat den Eindruck, dass sich in der Region der Anteil der Inlandsreisen im Jahr 2022 im Vergleich zum Jahr 2019 erhöht hat.

Um dies zu untersuchen, erfasst das Team für 100 Reisen aus dem Jahr 2022, ob es sich um eine Inlands- oder Auslandsreise gehandelt hat.

Bei 34 oder mehr Inlandsreisen geht das Team davon aus, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat.

(1)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Team fälschlicherweise davon ausgeht, dass sich der Anteil der Inlandsreisen erhöht hat, obwohl der Anteil unverändert geblieben ist.

(2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von einem unveränderten Anteil von Inlandsreisen ausgeht, wenn dieser Anteil tatsächlich aber auf $30 \%$ gestiegen ist.

(2 + 2 Punkte)

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