Aufgabe 3

Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der x $_1$ -x $_2$ -Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte $O\left(0\mid0\mid0\right), A\left(\sqrt{2}\mid0\mid0\right), B\left(\sqrt{2}\mid1\mid0\right) \text{ und } C\left(0\mid1\mid0\right)$ sowie der Punkt $D\left(1\mid1\mid0\right)$ .¹

Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke $\overline{OD}$ gefaltet. Das Dreieck $ODC$ bleibt dabei fest, während das Viereck $OABD$ in das Viereck $OA‘B‘D$ übergeht, das wieder in der $x_{1}-x_{2}-$ Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt.

Zur Veranschaulichung kann ein DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.

Grafik eines geometrischen Körpers im Koordinatensystem mit den Punkten A, B, C, D und dem Ursprung O.

Grafische Darstellung eines geometrischen Objekts mit verschiedenen Achsen und Punkten.

¹ Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet.

Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ der Strecke $\overline{OD}$ an.
Zeigen Sie, dass die Gerade $CM$ senkrecht zur Geraden $OD$ ist.
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $C$ von der Geraden $OD$ .

(3P + 5P + 4P)

b) Die Ecke des Blattes, die durch das Falten aus der Position A in die Position A‘ gebracht wird, bewegt sich bei dem Faltvorgang auf einem Halbkreis in einer Ebene E, die senkrecht zur $x_{1}-x_{2}$ -Ebene ist (siehe Abbildung 1 bis 3).

Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene E in Parameterform und in Koordinatenform her.
$[$ Zur Kontrolle: $E: x_{1} + x_{2} = \sqrt{2}]$

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Ebene E mit der Geraden OD.
$[$ Zur Kontrolle: S $\left( \frac{1}{2}\sqrt{2}\mid\frac{1}{2}\sqrt{2}\mid0\right)]$

(8P + 6P)

Diagramm mit geometrischen Formen und Achsenbeschriftungen, dargestellt in einem 3D-Koordinatensystem.

Während des Faltvorgangs wird das beim Falten bewegte Papier-Viereck auch in die Position des Vierecks $OA^*B^*D$ gebracht, das in einer sowohl zur $x_1-x_2$ -Ebene als auch zur Ebene $E$ aus b) senkrechten Ebene $E^*$ liegt (siehe Abbildung 3).

Leiten Sie eine Gleichung der Ebene $E^*$ in Parameterform her.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $A^*$ .

(4P + 6P)

Begründen Sie, dass das Viereck $ABDS$ ein Drachenviereck ist.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Vierecks $ABDS$ .

(8P + 6P)

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Mittelpunktes $\boldsymbol{M}$ angeben

Ein DIN-A4-Blatt wird entlang der Strecke $\overline{OD}$ gefaltet. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ der Strecke $\overline{OD}$ .

Die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ kannst du folgendermaßen bestimmen:

$M\left(\frac{1}{2}\cdot (a_1 + b_1) \mid \frac{1}{2}\cdot (a_2 + b_2) \mid \frac{1}{2}\cdot (a_3 + b_3) \right)$

Das heißt, du benötigst die Koordinaten der Punkte $O$ und $D$ . Diese sind bereits im Aufgabentext angegeben mit:

$O(0\mid0\mid0)$
$D(1\mid1\mid0)$

Um die Koordinaten von $M$ zu erhalten, kannst du folgende Rechnung durchführen:

$\begin{array}{rll} M(M_1\mid M_2\mid M_3)&=&M(\frac{1}{2}\cdot (O_1 + D_1) \mid \frac{1}{2}\cdot (O_2 + D_2) \mid \frac{1}{2}\cdot (O_3 + D_3))\\ &=&M(\frac{1}{2}\cdot (0 + 1) \mid \frac{1}{2}\cdot (0 + 1) \mid \frac{1}{2}\cdot (0 + 0)) \\ &=&M(\frac{1}{2}\cdot 1 \mid \frac{1}{2}\cdot 1 \mid \frac{1}{2}\cdot 0) \\ &=&M\left(\frac{1}{2}\mid \frac{1}{2} \mid 0\right) \\ \end{array}$

Die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ lauten $M\left(\frac{1}{2}\mid \frac{1}{2} \mid 0\right)$ .

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass Gerade $\boldsymbol{CM}$ senkrecht zur Geraden $\boldsymbol{OD}$ ist

Um zu zeigen, dass eine Gerade $g$ senkrecht zu einer weiteren Geraden $h$ ist, kannst du nachweisen, dass für das Skalarprodukt ihre Richtungsvektoren $r_1$ und $r_2$ folgender Zusammenhang erfüllt ist:

$r_1 \circ r_2 \;= \; 0$

In unserem Fall kannst du $\overrightarrow{CM}$ als Richtungsvektor der Geraden $CM$ und $\overrightarrow{OD}$ als Richtungsvektor der Geraden $OD$ verwenden.

Du kannst dabei so vorgehen:

Bestimme die Vektoren $\overrightarrow{CM}$ und $\overrightarrow{OD}$ .
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren. Erhältst du als Lösung den Wert Null, so sind die Geraden senkrecht zueinander.

1. Schritt: Richtungsvektoren der Geraden bestimmen

Der Richtungsvektor der Geraden $CM$ entspricht gerade der Differenz $\overrightarrow{CM}\;=\;\overrightarrow{M}-\overrightarrow{C}$ :

$\overrightarrow{CM}\;=\;\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor der Geraden $OD$ entspricht gerade der Differenz $\overrightarrow{OD}\;=\;\overrightarrow{D}-\overrightarrow{O}$ :

$\overrightarrow{OD}\;=\;\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

2. Schritt: Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

Um herauszufinden, ob die Gerade $CM$ senkrecht zur Geraden $OD$ ist, kannst du überprüfen, ob das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null ist:

$\overrightarrow{CM} \circ \overrightarrow{OD}\;=\;\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\frac{1}{2} - \frac{1}{2} +0 \;=\;0$

Damit ist das Skalarprodukt gleich Null und die Geraden sind senkrecht zueinander.

$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $\boldsymbol{C}$ von der Geraden $\boldsymbol{OD}$ bestimmen

Diagramm mit einem Winkel α und Koordinatenachsen.

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden entspricht der kürzesten Strecke, die den Punkt mit der Geraden verbindet. Diese Strecke muss folglich senkrecht auf der Geraden stehen.

Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du, dass die Gerade $CM$ senkrecht auf der Geraden $OD$ steht. Folglich entspricht der gesuchte Abstand gerade der Länge der Strecke $\overline{CM}$ .

Die Länge l einer Strecke $\overline{AB}$ mit den Endpunkten $A(a_1\mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1\mid b_2 \mid b_3)$ kannst du über den Betrag der Strecke berechnen:

$l\;=\;\mid \overline{AB} \mid \;=\;\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

Verwende diese Zusammenhang, um den Abstand des Punktes $C$ zu bestimmen.

Damit ergibt sich für den Abstand des Punktes $C$ zur Geraden $OD$ bzw. der Länge der Strecke $\overline{CM}$ :

$\begin{array}{rll} l\;=\;\mid \overline{CM} \mid&=&\sqrt{(M_1-C_1)^2+ (M_2-C_2)^2 + (M_3-C_3)^2} \\ &=&\sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2+ (\frac{1}{2}-1)^2 + (0-0)^2} \\ &=&\sqrt{\frac{1}{2}^2+ (-\frac{1}{2})^2 + 0^2} \\ &=&\sqrt{\frac{1}{4}+ \frac{1}{4} + 0} \\ &=&\sqrt{\frac{2}{4}}\;=\;\sqrt{\frac{1}{2}} \\ \end{array}$

Die Strecke $\overline{CM}$ hat eine Länge von $\sqrt{\frac{1}{2}}$ LE. Das heißt, der Abstand des Punktes $C$ von der Geraden $OD$ beträgt $\sqrt{\frac{1}{2}}$ LE.

b) $\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ in Parameterform angeben

Das Blatt in der $x_1-x_2-$ Ebene wird wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Beim Faltvorgang „wandert“ der Punkt $A$ in die Position $A‘$ . Dabei bewegt sich der Punkt entlang eines Halbkreises. Die Ebene $E$ soll diesen Halbkreis enthalten und senkrecht zur $x_1-x_2-$ Ebene stehen.

Grafische Darstellung einer mehrdimensionalen Funktion mit Achsen und markierten Punkten.

Grafische Darstellung von geometrischen Formen mit Achsen und Beschriftungen.

Deine Aufgabe ist es, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Parameterform anzugeben.
Eine Ebenengleichung in Parameterform sieht wie folgt aus:

$E:\overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} +r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v}$

Der Vektor $\overrightarrow{p}$ wird Stützvektor genannt, $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind die linear unabhängigen Spannvektoren der Ebene $E$ .

Stelle die gesuchten Stütz- und Spannvektoren auf, um eine Ebenengleichung in Parameterform zu erhalten.

1. Schritt: Stützvektor der Ebene $\boldsymbol{E}$ aufstellen

Für den Stützvektor kannst du die Koordinaten eines Punktes verwenden, der garantiert in der Ebene liegt. Hier bietet sich beispielweise der Punkt $A(\sqrt{2} \mid 0 \mid 0)$ an. Es ergibt sich also:

$\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

2. Schritt: Spannvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{u}}$ der Ebene $\boldsymbol{E}$ aufstellen

Da in der Aufgabenstellung verlangt wird, dass die Ebene $E$ senkrecht auf der $x_1-x_2-$ Ebene steht, kannst du einen der Spannvektoren direkt angeben, der diese Bedingung erfüllt:

$\overrightarrow{u}\;=\; \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

3. Schritt: Spannvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ der Ebene $\boldsymbol{E}$ aufstellen

Sollen weiterhin die Punkte $A$ und $A‘$ in der Ebene $E$ enthalten sein, so muss auch ihre Verbindungsstrecke in der Ebene $E$ liegen. Das heißt, du kannst den Vektor $\overrightarrow{AA‘}$ als zweiten Spannvektor verwenden.

$\overrightarrow{v}\;=\; \overrightarrow{AA‘}\;=\;\overrightarrow{A‘}-\overrightarrow{A}$

Offensichtlich benötigen wir die Koordinaten des Punktes $A‘$ , um den zweiten Spannvektor angeben zu können. Wir erinnern uns: Das Blatt soll entlang der Geraden $OD$ gefaltet werden. Das heißt, dass der Punkt $A$ an der Geraden $OD$ gespiegelt wird.

Anhand der Abbildung 3 kannst du die Koordinaten ablesen. Der Punkt $A‘$ hat die Koordinaten $A‘(0 \mid \sqrt{2} \mid 0)$ .

Damit kannst du nun den Vektor $\overrightarrow{v}\;=\;\overrightarrow{AA‘}$ bestimmen:

$\begin{array}{rll} \overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{A‘}-\overrightarrow{A}& \\ &=&\begin{pmatrix} 0\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}\\ \end{array}$

4. Schritt: Aufgestellte Vektoren in Ebenengleichung einsetzen

Einsetzen des Stützvektors $\overrightarrow{p}$ und der Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ in die allgemeine Form einer Ebenengleichung in Parameterform liefert dir die gesuchte Gleichung:

$E:\overrightarrow{x}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix};\;r,s \in \mathbb{R}$

$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $\boldsymbol{E}$ in Koordinatenform angeben

Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist allgemein von der Form:

$E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 =d$

Hast du bereits eine Ebenengleichung der Ebene in Parameterform, so kannst du die Koordinatenform ermitteln, indem du die Ebenengleichung in Parameterform mit $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ wie folgt gleichsetzt:

$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$

Daraus erhältst du ein lineares Gleichungssystem, bei welchem du die Parameter $r$ und $s$ eliminieren musst, um die Koordinatenform zu erhalten.

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ&x_1&\;=\;&\sqrt{2}&+&0 \cdot r&-&\sqrt{2} \cdot s&\mid\; Ⅰ+Ⅱ\\ Ⅱ&x_2&\;=\;&0&+&0 \cdot r&+&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ&x_3&\;=\;&0&+&1 \cdot r&+&0 \cdot s\\ \end{array}$

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰa&x_1+x_2&\;=\;&\sqrt{2}\\ Ⅱ&x_2&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s&\\ Ⅲ&x_3&\;=\;&r&\\ \end{array}$

In der Gleichung $Ⅰa$ sind nun beide Parameter eliminiert. Das heißt, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Koordinatenform lautet:

$E: x_1+x_2\;=\;\sqrt{2}$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes $\boldsymbol{S}$ bestimmen

Die Gerade $OD$ schneidet die Ebene $E$ in einem Punkt $S$ . Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu ermitteln, kannst du die Geradengleichung komponentenweise in die zuvor bestimme Ebenengleichung in Parameterform einsetzen.

Eine Gleichung der Geraden $OD$ könnte zum Beispiel so aussehen:

$OD: \overrightarrow{x}\;=\;k \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

Dabei wurde der Ortsvektor $\overrightarrow{OD}$ verwendet. Gehe also wie folgt vor:

Setze diese Geradengleichung in die Ebenengleichung von $E$ gleich und löse nach dem Parameter $k$ auf. Dadurch erhältst du einen Wert für den Parameter $k$ .
Setze diesen Parameterwert für $k$ anschließend in die Geradengleichung von $OD$ ein. Das liefert dir die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes $S$ .

1. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol{OD}$ mit Ebenengleichung von $\boldsymbol{E}$ gleichsetzen

Komponentenweise Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Ebenengleichung von $E$ liefert dir folgendes lineares Gleichungssystem, welches du nach $k$ auflösen sollst:

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ&k \cdot 1&\;=\;&\sqrt{2}&+&0 \cdot r&-&\sqrt{2} \cdot s&\mid\; Ⅰ+Ⅱ\\ Ⅱ&k \cdot 1&\;=\;&0&+&0 \cdot r&+&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ&0&\;=\;&0&+&1 \cdot r&+&0 \cdot s&\mid\; \Rightarrow r=0\\ \end{array}$

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰa&2 \cdot k&\;=\;&\sqrt{2}&\mid\; :2\\ Ⅱ&k&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ&0&\;=\;&r&\\ \end{array}$

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰb&k&\;=\;&\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}&\\ Ⅱ&k&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ&0&\;=\;&r&\\ \end{array}$

Du erhältst $k= \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ .

2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{k}$ in Geradengleichung von $\boldsymbol{OD}$ einsetzen

Einsetzen von $k= \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ in die Geradengleichung zu $OD$ liefert dir die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ :

$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt $S$ besitzt die Koordinaten $S\left( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \mid 0 \right)$ .

c) $\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $\boldsymbol{E^*}$ in Parameterform bestimmen

Grafische Darstellung einer geometrischen Figur mit Punkten und Linien im Raum.

Während des Faltvorgangs nehmen die Punkte $A$ und $B$ die Positionen $A^*$ und $B^*$ ein.

Eine neue Ebene $E^*$ soll nun das daraus entstehende Viereck $OA^*B^*D$ enthalten. Weiterhin ist diese Ebene $E^*$ senkrecht zur $x_1-x_2-$ Ebene und zur Ebene $E$ .

Deine Aufgabe ist es, die Gleichung der Ebene $E^*$ in Parameterform aufzustellen.

Eine Ebenengleichung in Parameterform sieht wie folgt aus:

$E^*:\overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} +r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v}$

Der Vektor $\overrightarrow{p}$ wird Stützvektor genannt, $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind die linear unabhängigen Spannvektoren der Ebene $E^*$ .

Stelle die gesuchten Stütz- und Spannvektoren auf, um eine Ebenengleichung in Parameterform zu erhalten.

1. Schritt: Stützvektor der Ebene $\boldsymbol{E^*}$ aufstellen

Für den Stützvektor kannst du die Koordinaten eines Punktes verwenden, der garantiert in der Ebene liegt. Hier bietet sich beispielweise der Punkt $\boldsymbol{O(0 \mid 0 \mid 0)}$ an. Es ergibt sich also:

$\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

2. Schritt: Spannvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{u}}$ der Ebene $\boldsymbol{E^*}$ aufstellen

Da in der Aufgabenstellung verlangt wird, dass die Ebene $E^*$ senkrecht auf der $x_1-x_2-$ Ebene steht, kannst du einen der Spannvektoren direkt angeben, der diese Bedingung erfüllt:

$\overrightarrow{u}\;=\; \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

3. Schritt: Spannvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ der Ebene $\boldsymbol{E^*}$ aufstellen

Soll die Ebene $E^*$ senkrecht zur Ebene $E$ sein, so muss $E^*$ den Normalenvektor der Ebene $E$ enthalten.

Den Normalenvektor der Ebene $E$ kannst du an der Ebenengleichung in Koordinatenform direkt ablesen.

$E: 1\cdot x_1+1\cdot x_2 + 0 \cdot x_3\;=\;\sqrt{2}$

Der gesuchte Spannvektor lautet also:

$\overrightarrow{v}\;=\;\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

4. Schritt: Aufgestellte Vektoren in Ebenengleichung einsetzen

$E^*:\overrightarrow{x}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix};\;r,s \in \mathbb{R}$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{A^*}$ ermitteln

Der Punkt $A^*$ liegt laut Voraussetzung in den Ebenen $E$ und $E^*$ . Folglich muss dieser Punkt ebenfalls auf der Schnittgeraden $h$ der Ebenen liegen.

Im Punkt $S$ schneidet die Ebene $E$ die Gerade $OD$ , an welcher das Blatt gefaltet wird. Durch das Falten bewegt sich der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ und nimmt entlang dieses Halbkreises die Position $A^*$ ein. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A^*$ , es gilt also $\boldsymbol{\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid }$ .

Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A^*$ zu bestimmen:

Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E^*$ . (Dadurch erhältst du zunächst die erste und zweite Koordinate von $A^*$ ).
Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.

1. Schritt: Schnittgerade $\boldsymbol{h}$ der Ebenen $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{E^*}$ bestimmen

Die Schnittgerade erhältst du, indem du beide Ebenengleichungen gleichsetzt.

$\begin{array}{rll} E&=&E^* \\ \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}&=&t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ \end{array}$

Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem.

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ& \sqrt{2} + 0 \cdot r - \sqrt{2} \cdot s&\;=\;&0 \cdot t + 1 \cdot u& \mid\;Ⅰ-Ⅱ\\ Ⅱ&0 + 0 \cdot r + \sqrt{2} \cdot s&\;=\;&0 \cdot t + 1 \cdot u\\ Ⅲ&0 + 1 \cdot r + 0 \cdot s&\;=\;&1 \cdot t + 0 \cdot u\\ \hline Ⅰa& \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot s&\;=\;&0& \mid\;+ 2 \cdot \sqrt{2} \cdot s; :2 \cdot \sqrt{2}\\ Ⅱ&\sqrt{2} \cdot s&\;=\;&u\\ Ⅲ&r&\;=\;&t\\ \hline Ⅰb& s&\;=\;&\frac{1}{2}& \Rightarrow s=\frac{1}{2}\\ Ⅱ&\sqrt{2} \cdot s&\;=\;&u&\; s=\frac{1}{2}\text{ einsetzen} \Rightarrow u=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ Ⅲ&r &\;=\;&t\\ \end{array}$

Setze entweder $\boldsymbol{r=t;\;s=\frac{1}{2}}$ in die Ebenengleichung zu $E$ oder $\boldsymbol{t=r;\;u=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}}$ in die Ebenengleichung zu $E^*$ ein, um die Schnittgerade zu erhalten.

Wir setzen hierbei nun $\boldsymbol{r=t;\;u=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}}$ in die Ebenengleichung von $E^*$ ein:

$h:\overrightarrow{x}\;=\;t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

Da der Punkt $A^*$ auf der Schnittgeraden $h$ liegt, kannst du die Koordinaten des Punktes $A^*$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ angeben mit:
$\boldsymbol{A^*(0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 1 \cdot t+ 0)\;=\;(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid t)}$

2. Schritt: Verwenden, dass $\boldsymbol{\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid}$ gelten muss

Offensichtlich ist nur noch die $x_3$ -Koordinate vom Parameter $t$ abhängig. Einen passenden Wert für $t$ kannst du mit Hilfe der Bedingung $\boldsymbol{\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid }$ bestimmen.

Den Betrag $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ kannst du bereits berechnen, da dir die Koordinaten beider Punkte bekannt sind:

$\begin{array}{rll} \mid \overrightarrow{AS}\mid&=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}- \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-0\right)^2+(0-0)^2}\\ &=&\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+0^2} \\ &=&\sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}}\\ &=&\sqrt{1}\;=\;1 \\ \end{array}$

Damit gilt $\boldsymbol{\mid \overrightarrow{AS}\mid=1}$ und wir können diese Bedingung im Folgenden weiterverwenden:

$\begin{array}{rll} 1 \;\stackrel{!}{=}\;\mid \overrightarrow{A^*S}\mid&=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+(0-t)^2} \\ &=&\sqrt{0^2+0^2+t^2} \\ &=&\sqrt{t^2} \\ &=&t \\ \end{array}$

Damit muss $\boldsymbol{t=1}$ gelten. Nun kannst du die Koordinaten des Punktes $A^*$ vollständig angeben: $\boldsymbol{A^*(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 1)}$

d) $\blacktriangleright$ Begründen, dass das Viereck $\boldsymbol{ABDS}$ ein Drachenviereck ist

Zeige, dass das in der $x_1-x_2-$ Ebene liegende Viereck $ABDS$ ein Drachenviereck ist. Soll $ABDS$ ein Drachenviereck sein, so muss folgende Bedingung erfüllt werden:

$\mid \overrightarrow{AS} \mid \;=\; \mid \overrightarrow{AB} \mid \text{ und } \mid \overrightarrow{DS} \mid \;=\; \mid \overrightarrow{DB} \mid$

Berechne die Beträge der Strecken und begründe anhand des Resultats, dass bei $ABDS$ ein Drachenviereck vorliegt.

Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du, dass $\mid \overline{AS} \mid\;=\; 1$ gilt.

$\begin{array}{rll}\mid \overrightarrow{AS} \mid\;=\; 1\end{array}$

$\begin{array}{rll} \mid \overrightarrow{AB} \mid&=&\left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{0^2+1^2+0^2}\\[5pt] &=&1\\\end{array}$

$\begin{array}{rll} \mid \overrightarrow{DB} \mid&=& \left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2+0^2+0^2}\\[5pt] &=&\sqrt{2}-1\\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} \mid \overrightarrow{DS} \mid&=& \left| \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}-1\\ \frac{1}{2}\sqrt{2}-1\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}-1\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}-1\right)^2+0^2}\\[5pt] &=&\sqrt{2}-1\\ \end{array}$

Damit hast du gezeigt, dass $\boldsymbol{\mid \overrightarrow{AS} \mid \;=\; \mid \overrightarrow{AB} \mid \; \mid \overrightarrow{DS} \mid \;=\; \mid \overrightarrow{DB} \mid }$ gilt und damit auch, dass es sich bei $ABDS$ um ein Drachenviereck handelt.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Vierecks $\boldsymbol{ABDS}$ bestimmen

Im Aufgabenteil zuvor hast du gezeigt, dass es sich bei $ABDS$ um ein Drachenviereck handelt. Um nun den Flächeninhalt von $ABDS$ zu bestimmen, kannst du die Formel für den Flächeninhalt $F$ eines Drachenvierecks verwenden:

$F=\frac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid \cdot \mid \overrightarrow{SB} \mid$

Bestimme die Beträge der Vektoren und setze diese in die oben genannte Formel ein, um den Flächeninhalt zu erhalten.

1. Schritt: Beträge der Vektoren bestimmen

$\begin{array}{rll} \left| \overrightarrow{AD} \right|&=& \left| \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix} 1-\sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{(1-\sqrt{2})^2+1^2+0^2}\\[5pt] &=&\sqrt{4-2 \cdot \sqrt{2}}\\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} \mid \overrightarrow{SB} \mid&=& \left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\\ 1-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix} \right|\\[5pt] &=& \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+\left( 1-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \right)^2+0^2}\\[5pt] &=&\sqrt{2-\sqrt{2}}\\ \end{array}$

2. Schritt: In Formel für Flächeninhalt einsetzen

Setze die berechneten Beträge in die oben genannte Formel ein:

$\begin{array}{rll} F&=&\frac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid \cdot \mid \overrightarrow{SB} \mid \\ &=&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4-2 \cdot \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} \\ &=& \sqrt{2}-1 \\ \end{array}$

Der Flächeninhalt des Vierecks $ABDS$ beträgt $\boldsymbol{\sqrt{2}-1}$ FE.